1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = \ln \left| \frac{3x - 6}{x + 2} \right|$. 2. **Déterminer le domaine de définition :** - Le dénominateur $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$. - L'expression à l'intérieur du logarithme doit être strictement positive : $$\frac{3x - 6}{x + 2} > 0$$ - Étudions le signe de $3x - 6$ et $x + 2$ : - $3x - 6 = 3(x - 2)$, nul en $x=2$. - $x + 2$ nul en $x = -2$. - Tableau de signes : \begin{align*} &x < -2: &3x-6 < 0, &x+2 < 0 \Rightarrow \frac{3x-6}{x+2} > 0 \\ &-2 < x < 2: &3x-6 < 0, &x+2 > 0 \Rightarrow \frac{3x-6}{x+2} < 0 \\ &x > 2: &3x-6 > 0, &x+2 > 0 \Rightarrow \frac{3x-6}{x+2} > 0 \end{align*} - Donc le domaine est $]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[$. 3. **Étudier les variations de $f$ sur chaque intervalle :** - Calcul de la dérivée : $$f'(x) = \frac{d}{dx} \ln \left| \frac{3x - 6}{x + 2} \right| = \frac{\frac{d}{dx} \left( \frac{3x - 6}{x + 2} \right)}{\frac{3x - 6}{x + 2}}$$ - Dérivons la fraction : $$\frac{d}{dx} \left( \frac{3x - 6}{x + 2} \right) = \frac{3(x+2) - (3x - 6) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{3x + 6 - 3x + 6}{(x+2)^2} = \frac{12}{(x+2)^2}$$ - Donc $$f'(x) = \frac{12/(x+2)^2}{(3x - 6)/(x+2)} = \frac{12}{(x+2)^2} \times \frac{x+2}{3x - 6} = \frac{12}{(x+2)(3x - 6)}$$ - Simplifions : $$f'(x) = \frac{12}{(x+2)3(x-2)} = \frac{4}{(x+2)(x-2)}$$ 4. **Étude du signe de $f'(x)$ :** - Le dénominateur est $(x+2)(x-2)$. - Tableau de signes de $f'(x)$ : \begin{align*} &x < -2: & (x+2) < 0, (x-2) < 0 \Rightarrow (x+2)(x-2) > 0 \Rightarrow f'(x) > 0 \\ &-2 < x < 2: & (x+2) > 0, (x-2) < 0 \Rightarrow (x+2)(x-2) < 0 \Rightarrow f'(x) < 0 \\ &x > 2: & (x+2) > 0, (x-2) > 0 \Rightarrow (x+2)(x-2) > 0 \Rightarrow f'(x) > 0 \end{align*} - Donc $f$ est croissante sur $]-\infty, -2[$, décroissante sur $]-2, 2[$, et croissante sur $]2, +\infty[$. 5. **Montrer que le point $\Omega(0, \ln 3)$ est un centre de symétrie de la courbe $C$ :** - Vérifions la symétrie centrale en $\Omega$ : $$f(2 - x) + f(2 + x) = 2 \ln 3$$ - Calculons $f(2 - x)$ et $f(2 + x)$ : $$f(2 - x) = \ln \left| \frac{3(2 - x) - 6}{(2 - x) + 2} \right| = \ln \left| \frac{6 - 3x - 6}{4 - x} \right| = \ln \left| \frac{-3x}{4 - x} \right|$$ $$f(2 + x) = \ln \left| \frac{3(2 + x) - 6}{(2 + x) + 2} \right| = \ln \left| \frac{6 + 3x - 6}{4 + x} \right| = \ln \left| \frac{3x}{4 + x} \right|$$ - Addition : \begin{align*} f(2 - x) + f(2 + x) &= \ln \left| \frac{-3x}{4 - x} \right| + \ln \left| \frac{3x}{4 + x} \right| \\ &= \ln \left( \left| \frac{-3x}{4 - x} \right| \times \left| \frac{3x}{4 + x} \right| \right) \\ &= \ln \left| \frac{-3x \cdot 3x}{(4 - x)(4 + x)} \right| = \ln \left| \frac{-9x^2}{16 - x^2} \right| \\ &= \ln \left( \frac{9x^2}{16 - x^2} \right) \\ \end{align*} - Pour que ce soit égal à $2 \ln 3 = \ln 9$, il faut que $$\frac{9x^2}{16 - x^2} = 9 \Rightarrow \frac{x^2}{16 - x^2} = 1 \Rightarrow x^2 = 16 - x^2 \Rightarrow 2x^2 = 16 \Rightarrow x^2 = 8$$ - Ce n'est vrai que pour $x = \pm 2\sqrt{2}$, donc la relation n'est pas vraie pour tout $x$. - Cependant, on peut vérifier la symétrie centrale en $\Omega$ par la transformation $x \mapsto -x$ : $$f(-x) + f(x) = 2 \ln 3$$ - Calculons : $$f(-x) = \ln \left| \frac{3(-x) - 6}{-x + 2} \right| = \ln \left| \frac{-3x - 6}{-x + 2} \right|$$ $$f(x) = \ln \left| \frac{3x - 6}{x + 2} \right|$$ - Addition : \begin{align*} f(-x) + f(x) &= \ln \left| \frac{-3x - 6}{-x + 2} \right| + \ln \left| \frac{3x - 6}{x + 2} \right| \\ &= \ln \left| \frac{(-3x - 6)(3x - 6)}{(-x + 2)(x + 2)} \right| \\ &= \ln \left| \frac{-9x^2 + 18x - 18x + 36}{-x^2 + 4} \right| = \ln \left| \frac{-9x^2 + 36}{-x^2 + 4} \right| \\ &= \ln \left| \frac{-9(x^2 - 4)}{-(x^2 - 4)} \right| = \ln 9 = 2 \ln 3 \end{align*} - Donc $f(-x) + f(x) = 2 \ln 3$, ce qui montre que $\Omega(0, \ln 3)$ est un centre de symétrie. 6. **Déterminer les intersections avec les axes :** - Axe des ordonnées ($x=0$) : $$f(0) = \ln \left| \frac{3 \times 0 - 6}{0 + 2} \right| = \ln \left| \frac{-6}{2} \right| = \ln 3$$ Donc $C$ passe par $(0, \ln 3)$. - Axe des abscisses ($f(x) = 0$) : $$\ln \left| \frac{3x - 6}{x + 2} \right| = 0 \Rightarrow \left| \frac{3x - 6}{x + 2} \right| = 1$$ - Résolvons : $$\frac{3x - 6}{x + 2} = \pm 1$$ - Cas $+1$ : $$3x - 6 = x + 2 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$$ - Cas $-1$ : $$3x - 6 = - (x + 2) \Rightarrow 3x - 6 = -x - 2 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1$$ - Vérifions que $x=1$ et $x=4$ sont dans le domaine : - $1 \in ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[$ ? Non, $1$ n'est pas dans le domaine. - $4 \in ]2, +\infty[$ oui. - Donc seule l'intersection $x=4$ est valide. 7. **Résumé :** - Domaine : $]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[$ - $f$ croissante sur $]-\infty, -2[$, décroissante sur $]-2, 2[$, croissante sur $]2, +\infty[$ - Centre de symétrie en $\Omega(0, \ln 3)$ - Intersections : - Avec l'axe des ordonnées : $(0, \ln 3)$ - Avec l'axe des abscisses : $(4, 0)$