1. **Énoncé du problème** : Étudier la fonction $g(x) = \ln(x) - x^2$. 2. **Tableau de valeurs** : Calculons $g(x)$ pour les valeurs données. Pour chaque $x$, on calcule $g(x) = \ln(x) - x^2$. - $g(0.1) = \ln(0.1) - (0.1)^2 = -2.302585 - 0.01 = -2.312585$ - $g(0.2) = \ln(0.2) - (0.2)^2 = -1.609438 - 0.04 = -1.649438$ - $g(0.3) = \ln(0.3) - (0.3)^2 = -1.203973 - 0.09 = -1.293973$ - $g(0.4) = \ln(0.4) - (0.4)^2 = -0.916291 - 0.16 = -1.076291$ - $g(0.5) = \ln(0.5) - (0.5)^2 = -0.693147 - 0.25 = -0.943147$ - $g(0.6) = \ln(0.6) - (0.6)^2 = -0.510826 - 0.36 = -0.870826$ - $g(0.7) = \ln(0.7) - (0.7)^2 = -0.356675 - 0.49 = -0.846675$ - $g(0.8) = \ln(0.8) - (0.8)^2 = -0.223144 - 0.64 = -0.863144$ - $g(0.9) = \ln(0.9) - (0.9)^2 = -0.105361 - 0.81 = -0.915361$ - $g(1) = \ln(1) - 1^2 = 0 - 1 = -1$ - $g(1.5) = \ln(1.5) - (1.5)^2 = 0.405465 - 2.25 = -1.844535$ 3. **Tableau de variations** : - La dérivée est $g'(x) = \frac{1}{x} - 2x$. - Pour étudier le signe de $g'(x)$, posons $g'(x) = 0$ : $$\frac{1}{x} - 2x = 0 \Rightarrow \frac{1}{x} = 2x \Rightarrow 1 = 2x^2 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$ - Pour $x < \frac{1}{\sqrt{2}}$, $g'(x) > 0$ (car $\frac{1}{x}$ est grand), donc $g$ est croissante. - Pour $x > \frac{1}{\sqrt{2}}$, $g'(x) < 0$, donc $g$ est décroissante. - Ainsi, $g$ a un maximum local en $x = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$. - Calculons $g\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ : $$g\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \ln(2) - \frac{1}{2} \approx -0.3466 - 0.5 = -0.8466.$$ 4. **Tracer la courbe** : La fonction $g$ est définie sur $]0, +\infty[$, elle croît jusqu'à $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ puis décroît. 5. **Résolution graphique de $g(x) = -1.5$** : - On cherche $x$ tel que $\ln(x) - x^2 = -1.5$. - Par lecture graphique, cette équation admet deux solutions : une entre $0.2$ et $0.3$ et une autre entre $1.4$ et $1.5$. - Approximativement, $x \approx 0.25$ et $x \approx 1.45$. **Réponse finale** : - Tableau de valeurs calculé. - Fonction croissante sur $]0, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ et décroissante sur $[\frac{1}{\sqrt{2}}, +\infty[$. - Maximum local en $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ avec $g(x) \approx -0.8466$. - Solutions graphiques de $g(x) = -1.5$ environ $x \approx 0.25$ et $x \approx 1.45$.