1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{2}$. 2. **Périodicité :** La fonction cosinus est $2\pi$-périodique, donc $\cos(\theta + 2\pi) = \cos(\theta)$. 3. **Montrer que $f$ est $\pi$-périodique :** Calculons $f(x + \pi)$ : $$ f(x + \pi) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left(2(x + \pi) + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left(2x + 2\pi + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{2} $$ Or, $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos(\alpha)$ donc $$ f(x + \pi) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{2} = f(x) $$ Donc $f$ est $\pi$-périodique. 4. **Étude des variations sur $[0, \pi]$ :** Calculons la dérivée : $$ f'(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \times (-\sin(2x + \frac{\pi}{4})) \times 2 = -\sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) $$ Étudions le signe de $f'(x)$ sur $[0, \pi]$ : - Trouvons les points où $f'(x) = 0$ : $$ \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = 0 \Rightarrow 2x + \frac{\pi}{4} = k\pi, k \in \mathbb{Z} $$ - Pour $k=1$ : $$ 2x + \frac{\pi}{4} = \pi \Rightarrow 2x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow x = \frac{3\pi}{8} $$ - Pour $k=0$ : $$ 2x + \frac{\pi}{4} = 0 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{8} \notin [0, \pi] $$ Donc le seul point critique dans $[0, \pi]$ est $x = \frac{3\pi}{8}$. - Signe de $f'(x)$ : Pour $x=0$ : $2\times0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$, $\sin(\frac{\pi}{4}) > 0$ donc $f'(0) = -\sqrt{2} \times \sin(\frac{\pi}{4}) < 0$. Pour $x=\frac{\pi}{2}$ : $2\times \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$, $\sin(\frac{5\pi}{4}) < 0$ donc $f'(\frac{\pi}{2}) = -\sqrt{2} \times (\text{négatif}) > 0$. Donc $f'(x)$ change de signe de négatif à positif en $x=\frac{3\pi}{8}$, ce qui signifie que $f$ décroît sur $[0, \frac{3\pi}{8}]$ et croît sur $[\frac{3\pi}{8}, \pi]$. 5. **Points communs avec l'axe des abscisses sur $[0, \pi]$ :** Résolvons $f(x) = 0$ : $$ \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $$ Donc $$ 2x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} $$ - Cas $+$ : $$ 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \Rightarrow 2x = 2k\pi \Rightarrow x = k\pi $$ - Cas $-$ : $$ 2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \Rightarrow 2x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + k\pi $$ Sur $[0, \pi]$, les solutions sont : - $x=0$ (pour $k=0$) - $x=\pi$ (pour $k=1$) - $x=\frac{3\pi}{4}$ (pour $k=1$ dans le cas $-$) 6. **Limites :** (a) $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{1 - \cos 2x}$$ Utilisons l'identité $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ : $$ \frac{\sin^2 x}{1 - \cos 2x} = \frac{\sin^2 x}{2 \sin^2 x} = \frac{\cancel{\sin^2 x}}{2 \cancel{\sin^2 x}} = \frac{1}{2} $$ Donc $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{1 - \cos 2x} = \frac{1}{2} $$ (b) $$\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}} \frac{\sqrt{2} \cos(2x + \frac{\pi}{4}) - 1}{4x - 3\pi}$$ Notons $g(x) = \sqrt{2} \cos(2x + \frac{\pi}{4}) - 1$ et $h(x) = 4x - 3\pi$. Calculons $g(\frac{3\pi}{4})$ : $$ 2 \times \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} $$ $$ \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Donc $$ g\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = 1 - 1 = 0 $$ Et $$ h\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 4 \times \frac{3\pi}{4} - 3\pi = 3\pi - 3\pi = 0 $$ On a une forme indéterminée $\frac{0}{0}$, utilisons la règle de l'Hôpital : $$ \lim_{x \to \frac{3\pi}{4}} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x \to \frac{3\pi}{4}} \frac{g'(x)}{h'(x)} $$ Calculons $g'(x)$ : $$ g'(x) = \sqrt{2} \times (-\sin(2x + \frac{\pi}{4})) \times 2 = -2 \sqrt{2} \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) $$ Calculons $h'(x) = 4$. Évaluons $g'(\frac{3\pi}{4})$ : $$ \sin\left(2 \times \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Donc $$ g'(\frac{3\pi}{4}) = -2 \sqrt{2} \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -2 \sqrt{2} \times -\frac{\sqrt{2}}{2} = 2 $$ Ainsi $$ \lim_{x \to \frac{3\pi}{4}} \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$