1. **Énoncé du problème** : Étudier la fonction $$f(x) = x + \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$$, notamment sa parité, ses limites aux bornes, sa dérivabilité, sa continuité, et tracer sa courbe. 2. **Parité de la fonction** : On calcule $$f(-x)$$ : $$f(-x) = -x + \ln \left| \frac{-x - 1}{-x + 1} \right| = -x + \ln \left| \frac{-(x+1)}{-(x-1)} \right| = -x + \ln \left| \frac{x+1}{x-1} \right|$$ Or, $$\ln \left| \frac{x+1}{x-1} \right| = - \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$$ Donc, $$f(-x) = -x - \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| = - \left( x + \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right) = -f(x)$$ La fonction est donc **impaire**. 3. **Domaine de définition** : La fonction est définie pour $$x \neq -1$$ et $$x \neq 1$$ car le logarithme nécessite que $$\frac{x-1}{x+1} \neq 0$$ et que l'argument soit strictement positif ou négatif (ici on prend la valeur absolue donc $$x \neq -1$$ et $$x \neq 1$$ pour éviter division par zéro). 4. **Limites aux bornes** : - Quand $$x \to 1^+$$, $$\frac{x-1}{x+1} \to 0^+$$ donc $$\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \to -\infty$$ et $$f(x) \to 1 + (-\infty) = -\infty$$. - Quand $$x \to 1^-$$, $$\frac{x-1}{x+1} \to 0^-$$ donc $$\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \to -\infty$$ et $$f(x) \to 1 + (-\infty) = -\infty$$. - Quand $$x \to -1^+$$, $$\frac{x-1}{x+1} \to -\infty$$ en valeur absolue $$\to +\infty$$ donc $$\ln |\cdot| \to +\infty$$ et $$f(x) \to -1 + \infty = +\infty$$. - Quand $$x \to -1^-$$, $$\frac{x-1}{x+1} \to +\infty$$ donc $$\ln |\cdot| \to +\infty$$ et $$f(x) \to -1 + \infty = +\infty$$. - Quand $$x \to +\infty$$, $$\frac{x-1}{x+1} \to 1$$ donc $$\ln 1 = 0$$ et $$f(x) \sim x$$ donc $$f(x) \to +\infty$$. - Quand $$x \to -\infty$$, $$\frac{x-1}{x+1} \to 1$$ donc $$\ln 1 = 0$$ et $$f(x) \sim x$$ donc $$f(x) \to -\infty$$. 5. **Dérivabilité et continuité** : La fonction est dérivable sur $$\mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$$ car somme de fonctions dérivables sur ce domaine. Calcul de la dérivée : $$f'(x) = 1 + \frac{d}{dx} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| = 1 + \frac{1}{\frac{x-1}{x+1}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$$ Calculons $$\frac{d}{dx} \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$$ : $$\frac{(x+1) \cdot 1 - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$$ Donc, $$f'(x) = 1 + \frac{1}{\frac{x-1}{x+1}} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} = 1 + \frac{2}{(x+1)^2} \cdot \frac{x+1}{x-1} = 1 + \frac{2}{(x+1)(x-1)}$$ Simplifions : $$f'(x) = 1 + \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{(x^2 - 1) + 2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$$ 6. **Étude du signe de la dérivée** : - Le numérateur $$x^2 + 1 > 0$$ pour tout $$x$$. - Le dénominateur $$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$$ change de signe en $$x = \pm 1$$. Donc, - Pour $$|x| > 1$$, $$x^2 - 1 > 0$$ donc $$f'(x) > 0$$. - Pour $$|x| < 1$$, $$x^2 - 1 < 0$$ donc $$f'(x) < 0$$. 7. **Conclusion sur le comportement** : - La fonction décroît sur $$(-1,1)$$. - La fonction croît sur $$(-\infty, -1)$$ et sur $$(1, +\infty)$$. - Il y a des discontinuités en $$x = -1$$ et $$x = 1$$ (points de discontinuité infinie). 8. **Résumé** : - Domaine : $$\mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$$. - Parité : fonction impaire. - Limites : $$f(x) \to -\infty$$ en $$x \to 1^{\pm}$$, $$f(x) \to +\infty$$ en $$x \to -1^{\pm}$$, $$f(x) \to \pm \infty$$ en $$x \to \pm \infty$$. - Dérivée : $$f'(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$$. - Monotonie : décroissante sur $$(-1,1)$$, croissante sur $$(-\infty,-1)$$ et $$(1,+\infty)$$. - Continuité : continue sur $$\mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$$. 9. **Courbe** : La fonction présente deux asymptotes verticales en $$x = -1$$ et $$x = 1$$. La fonction est impaire, donc symétrique par rapport à l'origine. La fonction décroît entre $$-1$$ et $$1$$, et croît en dehors de cet intervalle. ---