1. **Énoncé du problème** : On considère la fonction f définie sur ℝ \ {-1} par : $$f(x) = \begin{cases} -x^3 + 3x^2 & \text{si } x \geq 0 \\ \frac{x^2}{x+1} & \text{si } x < 0, x \neq -1 \end{cases}$$ On note (ζ) la courbe représentative de f. 2. **Continuité de f sur ℝ \ {-1}** : - Pour $x > 0$, $f$ est un polynôme donc continue. - Pour $x < 0$, $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$ est rationnelle avec dénominateur non nul sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ donc continue. - Il faut vérifier la continuité en 0 : $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2}{x+1} = 0$$ $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (-x^3 + 3x^2) = 0$$ et $f(0) = 0$, donc $f$ est continue en 0. Ainsi, $f$ est continue sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. 3. **Dérivabilité et calcul de $f'(a)$ pour $a > 0$** : - Pour $x \geq 0$, $f(x) = -x^3 + 3x^2$. La dérivée est : $$f'(x) = -3x^2 + 6x$$ Donc pour $a > 0$, $$f'(a) = -3a^2 + 6a$$ 4. **Coordonnées du point M où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses** : - La tangente est parallèle à l'axe $(O, \vec{i})$ si $f'(a) = 0$. Résolvons : $$-3a^2 + 6a = 0$$ $$-3a(a - 2) = 0$$ $$a = 0 \quad \text{ou} \quad a = 2$$ Pour $a > 0$, $a = 2$. Calculons $f(2)$ : $$f(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 = -8 + 12 = 4$$ Donc $M(2,4)$. 5. **Approximation affine de $3(1{,}001)^2 - (1{,}001)^3$ en utilisant le nombre dérivé en 1** : - Calcul de $f'(1)$ : $$f'(1) = -3(1)^2 + 6(1) = -3 + 6 = 3$$ - Calcul de $f(1)$ : $$f(1) = -1 + 3 = 2$$ - Approximation affine : $$f(1 + h) \approx f(1) + f'(1)h$$ avec $h = 0{,}001$ : $$f(1{,}001) \approx 2 + 3 \times 0{,}001 = 2{,}003$$ Donc : $$3(1{,}001)^2 - (1{,}001)^3 \approx 2{,}003$$ 6. **Limite et interprétation graphique en $x \to 1^+$** : - Pour $x > 0$, $f(x) = -x^3 + 3x^2$. Calculons : $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = -1 + 3 = 2$$ Graphiquement, la courbe (ζ) tend vers la valeur 2 en $x=1$ par la droite. 7. **Montrer que la droite $\Delta : y = x - 1$ est une asymptote oblique à (ζ) au voisinage de $+\infty$** : - Étudions $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (x - 1)) = \lim_{x \to +\infty} (-x^3 + 3x^2 - x + 1)$$ Cette limite est $-\infty$, donc la droite n'est pas asymptote à l'infini. **Correction** : L'énoncé semble demander l'asymptote en $-\infty$ ou une autre fonction. Vu la fonction, l'asymptote oblique est plutôt pour $x \to -1$ ou $x \to -\infty$. Pour $x \to -\infty$, $f(x) = \frac{x^2}{x+1} \sim x$ donc $$f(x) - (x - 1) = \frac{x^2}{x+1} - x + 1 = \frac{x^2 - x(x+1) + (x+1)}{x+1} = \frac{x^2 - x^2 - x + x + 1}{x+1} = \frac{1}{x+1} \to 0$$ Donc $y = x - 1$ est asymptote oblique en $-\infty$. 8. **Dérivabilité en 0 et calcul de $f'(0)$** : - À droite de 0, $f(x) = -x^3 + 3x^2$, dérivable avec $$f'(0^+) = 0$$ - À gauche de 0, $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$. Calcul de la dérivée : $$f'(x) = \frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$$ Donc $$f'(0^-) = \frac{0 + 0}{1} = 0$$ Les dérivées à gauche et à droite sont égales, donc $f$ est dérivable en 0 et $$f'(0) = 0$$ 9. **Dérivabilité pour $a < 0$, $a \neq -1$ et calcul de $f'(a)$** : - Pour $x < 0$, $$f(x) = \frac{x^2}{x+1}$$ Dérivée : $$f'(x) = \frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$$ Donc pour $a < 0$, $$f'(a) = \frac{a(a+2)}{(a+1)^2} = \frac{a+2}{(a+1)^2} \times a$$ L'énoncé donne $f'(a) = \frac{a+2}{(a+1)^2}$, ce qui correspond à la dérivée simplifiée en divisant par $a$ (vérification : en fait, la dérivée est bien $\frac{a^2 + 2a}{(a+1)^2}$). 10. **Équation de la tangente T au point d'abscisse $-3$** : - Calcul de $f(-3)$ : $$f(-3) = \frac{(-3)^2}{-3 + 1} = \frac{9}{-2} = -\frac{9}{2}$$ - Calcul de $f'(-3)$ : $$f'(-3) = \frac{(-3)^2 + 2(-3)}{(-3 + 1)^2} = \frac{9 - 6}{4} = \frac{3}{4}$$ - Équation de la tangente : $$y = f'(-3)(x + 3) + f(-3) = \frac{3}{4}(x + 3) - \frac{9}{2}$$ 11. **Montrer qu'il n'existe pas de point d'abscisse $< 0$ où la tangente est perpendiculaire à la droite $x + y - 1 = 0$** : - La droite $x + y - 1 = 0$ a pour vecteur directeur $\vec{u} = (1, -1)$. - Une droite est perpendiculaire à cette droite si son vecteur directeur $\vec{v} = (1, f'(a))$ vérifie : $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow 1 \times 1 + (-1) \times f'(a) = 0 \Rightarrow 1 - f'(a) = 0 \Rightarrow f'(a) = 1$$ - Cherchons $a < 0$ tel que $$f'(a) = 1$$ avec $$f'(a) = \frac{a^2 + 2a}{(a+1)^2} = 1$$ $$a^2 + 2a = (a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$$ $$a^2 + 2a = a^2 + 2a + 1 \Rightarrow 0 = 1$$ Contradiction, donc pas de solution. 12. **Dérivabilité de $h(x) = (-x^3 + 3x + 1)^{2008}$ et calcul de $h'(x)$** : - $h$ est composée de fonctions dérivables, donc dérivable sur $\mathbb{R}$. - Par la règle de dérivation en chaîne : $$h'(x) = 2008(-x^3 + 3x + 1)^{2007} \times (-3x^2 + 3)$$ 13. **Calcul de la limite** $$\lim_{x \to 0} \frac{h(x) - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(-x^3 + 3x + 1)^{2008} - 1}{x}$$ - Comme $h(0) = 1$, cette limite est la dérivée de $h$ en 0 : $$= h'(0) = 2008 \times 1^{2007} \times (-3 \times 0^2 + 3) = 2008 \times 3 = 6024$$