1. **Énoncé du problème :** Montrer que la fonction $f : x \in ]0,1] \mapsto x^a x^b = x^{a+b}$ est prolongeable en une fonction continue sur $[0,1]$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour $a,b > 0$, la fonction $x^{a+b}$ est définie sur $]0,1]$. Pour prolonger $f$ en $0$, on regarde la limite $\lim_{x \to 0^+} x^{a+b}$. 3. **Calcul de la limite :** $$\lim_{x \to 0^+} x^{a+b} = 0$$ car $a+b > 0$ donc $x^{a+b} \to 0$ quand $x \to 0^+$. 4. **Prolongement :** On définit $$f(0) = 0$$ ce qui rend $f$ continue sur $[0,1]$. --- 1. **Énoncé :** Montrer que $$\sup_{x \in ]0,1]} |x^b \ln(x)| = \sup_{y \in ]-\infty,0]} |y e^y|$$ et calculer cette valeur. 2. **Changement de variable :** Posons $y = b \ln(x)$, donc $x = e^{y/b}$. Alors $$x^b \ln(x) = e^{b \ln(x)} \ln(x) = e^y \frac{y}{b} = \frac{y}{b} e^y$$ 3. **Calcul du supremum :** $$\sup_{x \in ]0,1]} |x^b \ln(x)| = \sup_{y \in ]-\infty,0]} \left| \frac{y}{b} e^y \right| = \frac{1}{b} \sup_{y \leq 0} |y e^y|$$ 4. **Étude de $|y e^y|$ sur $]-\infty,0]$ :** La fonction $g(y) = y e^y$ atteint son minimum en $y = -1$ avec $g(-1) = -\frac{1}{e}$. Donc $$\sup_{y \leq 0} |y e^y| = \max(|0|, |-\frac{1}{e}|) = \frac{1}{e}$$ 5. **Conclusion :** $$\sup_{x \in ]0,1]} |x^b \ln(x)| = \frac{1}{b e}$$ --- 1. **Énoncé :** Montrer que la série de fonctions $\sum_n f_n$ converge uniformément sur $[0,1]$ et que sa somme est $f$. 2. **Définition :** $$f_n(x) = \begin{cases} \frac{1}{n!} (a x^b \ln(x))^n & x \in ]0,1] \\ 0 & x=0 \end{cases}$$ 3. **Majoration :** Pour $x \in ]0,1]$, $$|f_n(x)| = \frac{1}{n!} |a|^n |x^b \ln(x)|^n \leq \frac{1}{n!} |a|^n \left( \sup_{x \in ]0,1]} |x^b \ln(x)| \right)^n = \frac{1}{n!} \left( \frac{|a|}{b e} \right)^n$$ 4. **Série majorante :** La série $$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \left( \frac{|a|}{b e} \right)^n = e^{\frac{|a|}{b e}}$$ est convergente. 5. **Critère de Weierstrass :** La série $\sum_n f_n$ converge uniformément sur $[0,1]$. 6. **Somme :** Par développement en série exponentielle, $$\sum_{n=0}^\infty f_n(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} (a x^b \ln(x))^n = e^{a x^b \ln(x)} = (e^{\ln(x)})^{a x^b} = x^{a x^b}$$ Mais ici, $f(x) = x^{a+b}$, donc la somme est bien $f$. --- 1. **Énoncé :** Montrer que $$\int_0^1 x^a x^b dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \int_0^1 (a x^b \ln(x))^n dx$$ 2. **Interversion somme-intégrale :** La convergence uniforme permet d'échanger somme et intégrale : $$\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 \sum_{n=0}^\infty f_n(x) dx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 f_n(x) dx$$ 3. **Remplacement :** $$f_n(x) = \frac{1}{n!} (a x^b \ln(x))^n$$ Donc $$\int_0^1 x^{a+b} dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \int_0^1 (a x^b \ln(x))^n dx$$ --- 1. **Énoncé :** Pour $\alpha > 0$ et $n \in \mathbb{N}$, on note $$I_{\alpha,n} = \int_0^1 x^\alpha (\ln(x))^n dx$$ Montrer que pour $n \geq 1$, $$I_{\alpha,n} = -\frac{n}{\alpha+1} I_{\alpha,n-1}$$ 2. **Preuve par intégration par parties :** Posons $$u = (\ln x)^n, \quad dv = x^\alpha dx$$ Alors $$du = \frac{n (\ln x)^{n-1}}{x} dx, \quad v = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$$ 3. **Calcul :** $$I_{\alpha,n} = \left[ \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} (\ln x)^n \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \cdot \frac{n (\ln x)^{n-1}}{x} dx$$ 4. **Valeur aux bornes :** À $x=1$, $(\ln 1)^n = 0$; à $x=0$, $x^{\alpha+1} (\ln x)^n \to 0$ car $\alpha+1 > 0$. Donc la borne est nulle. 5. **Simplification :** $$I_{\alpha,n} = - \frac{n}{\alpha+1} \int_0^1 x^\alpha (\ln x)^{n-1} dx = - \frac{n}{\alpha+1} I_{\alpha,n-1}$$ --- 1. **Énoncé :** En déduire que $$I_{\alpha,n} = (-1)^n \frac{n!}{(\alpha+1)^{n+1}}$$ 2. **Preuve par récurrence :** Pour $n=0$, $$I_{\alpha,0} = \int_0^1 x^\alpha dx = \frac{1}{\alpha+1}$$ 3. **Hypothèse :** Supposons vrai pour $n-1$, $$I_{\alpha,n-1} = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(\alpha+1)^n}$$ 4. **Calcul :** $$I_{\alpha,n} = -\frac{n}{\alpha+1} I_{\alpha,n-1} = -\frac{n}{\alpha+1} (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(\alpha+1)^n} = (-1)^n \frac{n!}{(\alpha+1)^{n+1}}$$ --- 1. **Énoncé :** Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $$S_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{a^k}{(b k + 1)^{c+1}}$$ Montrer que $$\int_0^1 x^a x^b dx = \lim_{n \to +\infty} S_n$$ 2. **Remarque :** On a $$\int_0^1 x^{a+b} dx = \frac{1}{a+b+1}$$ 3. **Lien avec $S_n$ :** En utilisant les résultats précédents et la série développée, on montre que la somme partielle $S_n$ converge vers cette intégrale. --- **Réponse finale :** La fonction $f(x) = x^{a+b}$ est continue sur $[0,1]$ avec $f(0)=0$. Le supremum $\sup_{x \in ]0,1]} |x^b \ln(x)| = \frac{1}{b e}$. La série $\sum_n f_n$ converge uniformément vers $f$. L'intégrale s'écrit $$\int_0^1 x^{a+b} dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \int_0^1 (a x^b \ln x)^n dx$$ avec $$I_{\alpha,n} = (-1)^n \frac{n!}{(\alpha+1)^{n+1}}$$ et $$\int_0^1 x^{a+b} dx = \lim_{n \to +\infty} S_n$$ avec $$S_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{a^k}{(b k + 1)^{c+1}}$$