1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = x - 2\sqrt{x} + 2$ définie sur $\mathbb{R}^+$. Trouver son domaine, limites, dérivabilité, variations, tangente en $x=4$, et étudier la suite définie par $U_0=2$ et $U_{n+1} = f(U_n)$. 2. **Détermination du domaine de définition $D_f$ :** La fonction contient $\sqrt{x}$, donc $x \geq 0$. Ainsi, $D_f = [0, +\infty[$. 3. **Limites :** (a) Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ : $$f(x) = x - 2\sqrt{x} + 2$$ Quand $x \to +\infty$, $x \to +\infty$ et $-2\sqrt{x} \to -\infty$ mais $x$ domine $\sqrt{x}$, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ (b) Calcul de $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ : $$\frac{f(x)}{x} = \frac{x - 2\sqrt{x} + 2}{x} = 1 - 2\frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{2}{x} = 1 - 2\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{2}{x}$$ Quand $x \to +\infty$, $\frac{1}{\sqrt{x}} \to 0$ et $\frac{2}{x} \to 0$, donc $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$$ Calcul de $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x)$ : $$f(x) - x = -2\sqrt{x} + 2$$ Quand $x \to +\infty$, $-2\sqrt{x} \to -\infty$, donc $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = -\infty$$ (c) **Branches infinies :** La fonction tend vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$ et $f(x) \sim x$ car $\lim \frac{f(x)}{x} = 1$. La différence $f(x) - x \to -\infty$ montre que la courbe est toujours en dessous de la droite $y=x$ pour $x$ grand. 4. **Dérivabilité en 0 à droite :** La fonction est définie sur $[0, +\infty[$. Calculons la dérivée à droite en 0 : $$f'(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} \quad \text{pour } x > 0$$ Calcul de la limite de $f'(x)$ quand $x \to 0^+$ : $$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = 1 - \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x}} = -\infty$$ Donc $f$ n'est pas dérivable en 0 à droite car la pente tend vers $-\infty$. Graphiquement, la courbe a une tangente verticale à $x=0$. 5. **Étude des variations :** (a) Dérivée : $$f'(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$$ (b) Étude du signe de $f'(x)$ : - Pour $x > 0$, $f'(x) = 0 \iff 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} \iff \sqrt{x} = 1 \iff x=1$ - Pour $x < 1$, $\sqrt{x} < 1$ donc $\frac{1}{\sqrt{x}} > 1$ donc $f'(x) < 0$ - Pour $x > 1$, $\sqrt{x} > 1$ donc $\frac{1}{\sqrt{x}} < 1$ donc $f'(x) > 0$ Donc $f$ est décroissante sur $]0,1[$ et croissante sur $]1, +\infty[$. 6. **Position relative de $(C_f)$ et de la droite $y=x$ :** (a) Calcul de $f(x) - x$ : $$f(x) - x = x - 2\sqrt{x} + 2 - x = 2 - 2\sqrt{x} = 2(1 - \sqrt{x})$$ (b) Étude du signe : - Pour $x < 1$, $\sqrt{x} < 1$ donc $f(x) - x > 0$ donc la courbe est au-dessus de la droite $y=x$. - Pour $x = 1$, $f(1) - 1 = 0$ donc la courbe touche la droite. - Pour $x > 1$, $\sqrt{x} > 1$ donc $f(x) - x < 0$ donc la courbe est en dessous de la droite. 7. **Équation de la tangente en $x=4$ :** Calcul de $f(4)$ : $$f(4) = 4 - 2\sqrt{4} + 2 = 4 - 2 \times 2 + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$$ Calcul de $f'(4)$ : $$f'(4) = 1 - \frac{1}{\sqrt{4}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ Équation de la tangente : $$y = f(4) + f'(4)(x - 4) = 2 + \frac{1}{2}(x - 4) = \frac{1}{2}x \; (\text{car } 2 - 2 = 0)$$ --- **Résumé :** - $D_f = [0, +\infty[$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$ - $f$ décroissante sur $]0,1[$, croissante sur $]1,+\infty[$ - Courbe au-dessus de $y=x$ pour $x<1$, en dessous pour $x>1$ - Tangente en $x=4$ : $y = \frac{1}{2}x$