1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $$f(x) = \frac{2x^2 + 4x}{x^2 + 2x + 1}$$ avec le domaine de définition $$D_f = ]-\infty ; -1[ \cup ]-1 ; +\infty[$$. 2. **Calcul des limites aux bords du domaine :** - Pour $$x \to -1^-$$ et $$x \to -1^+$$, le dénominateur $$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$$ tend vers 0, donc on étudie la limite de $$f(x)$$ près de $$x = -1$$. - Pour $$x \to -1$$, le numérateur est $$2x^2 + 4x = 2x(x+2)$$. - Calculons la limite à gauche : $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{2x^2 + 4x}{(x+1)^2}$$. Le numérateur tend vers $$2(-1)^2 + 4(-1) = 2 - 4 = -2$$. Le dénominateur tend vers 0 positif car carré. Donc $$f(x) \to -\infty$$ quand $$x \to -1^-$$. - Calculons la limite à droite : $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{2x^2 + 4x}{(x+1)^2} = -\infty$$ aussi. - Pour $$x \to \pm \infty$$, on divise numérateur et dénominateur par $$x^2$$ : $$f(x) = \frac{2 + \frac{4}{x}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}$$. Quand $$x \to \pm \infty$$, $$\frac{4}{x} \to 0$$, $$\frac{2}{x} \to 0$$, $$\frac{1}{x^2} \to 0$$. Donc $$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \frac{2}{1} = 2$$. 3. **Équation de la droite asymptotique :** La limite en $$\pm \infty$$ est 2, donc la droite asymptote horizontale est : $$y = 2$$. 4. **Calcul de la dérivée :** On pose $$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$$ avec $$u(x) = 2x^2 + 4x$$ et $$v(x) = x^2 + 2x + 1$$. La dérivée est : $$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$$. Calculons : $$u'(x) = 4x + 4$$ $$v'(x) = 2x + 2$$ Donc : $$f'(x) = \frac{(4x + 4)(x^2 + 2x + 1) - (2x^2 + 4x)(2x + 2)}{(x^2 + 2x + 1)^2}$$. Développons le numérateur : $$(4x + 4)(x^2 + 2x + 1) = 4x^3 + 8x^2 + 4x + 4x^2 + 8x + 4 = 4x^3 + 12x^2 + 12x + 4$$ $$(2x^2 + 4x)(2x + 2) = 2x^2(2x + 2) + 4x(2x + 2) = 4x^3 + 4x^2 + 8x^2 + 8x = 4x^3 + 12x^2 + 8x$$ Soustraction : $$4x^3 + 12x^2 + 12x + 4 - (4x^3 + 12x^2 + 8x) = 4x + 4$$ Donc : $$f'(x) = \frac{4x + 4}{(x+1)^4}$$ car $$v(x) = (x+1)^2$$ donc $$v(x)^2 = (x+1)^4$$. 5. **Étude du signe de la dérivée :** Le dénominateur est toujours positif sauf en $$x = -1$$ où la fonction n'est pas définie. Le numérateur est $$4(x + 1)$$. Donc : - Pour $$x > -1$$, $$f'(x) > 0$$ donc $$f$$ est croissante. - Pour $$x < -1$$, $$f'(x) < 0$$ donc $$f$$ est décroissante. 6. **Tableau de variation :** - $$f$$ décroît sur $$]-\infty, -1[$ - $$f$$ croît sur $$]-1, +\infty[$ - Asymptote verticale en $$x = -1$$ (fonction tend vers $$-\infty$$ des deux côtés) - Asymptote horizontale en $$y = 2$$ quand $$x \to \pm \infty$$. **Réponse finale :** - Limites : $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$$ - Asymptote verticale : $$x = -1$$ - Limites à l'infini : $$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 2$$ - Asymptote horizontale : $$y = 2$$ - Dérivée : $$f'(x) = \frac{4(x+1)}{(x+1)^4} = \frac{4}{(x+1)^3}$$ (simplifiée) - Fonction décroissante sur $$]-\infty, -1[$ et croissante sur $$]-1, +\infty[$.