1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x) = x - \ln(1+x)$. 2. **Calcul de la dérivée $f'(x)$ :** $$f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{(1+x)-1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$$ 3. **Étude du signe de $f'(x)$ sur $]0,+\infty[$ :** Pour $x > 0$, $x > 0$ et $1+x > 0$, donc $f'(x) = \frac{x}{1+x} > 0$. 4. **Conclusion sur la croissance de $f$ :** $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$. 5. **Inégalité $\ln(1+x) < x$ pour $x > 0$ :** Puisque $f(x) = x - \ln(1+x)$ et $f'(x) > 0$, $f$ est croissante et $f(0) = 0 - \ln(1) = 0$. Donc pour $x > 0$, $f(x) > f(0) = 0$, soit $x - \ln(1+x) > 0$ donc $$\ln(1+x) < x$$ 6. **Montrer que $\ln(1+x) > x - \frac{x^2}{2}$ pour $x > 0$ :** Considérons $g(x) = \ln(1+x) - x + \frac{x^2}{2}$. Calculons $g'(x)$ : $$g'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 + x = \frac{1 - (1+x) + x(1+x)}{1+x} = \frac{x^2}{1+x} > 0$$ pour $x > 0$. De plus, $g(0) = \ln(1) - 0 + 0 = 0$. Comme $g'(x) > 0$, $g$ est croissante et donc $g(x) > 0$ pour $x > 0$. Cela donne $$\ln(1+x) > x - \frac{x^2}{2}$$