1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $$f(x,y) = x^2 - 2y$$. 2. **Déterminer le domaine de définition de $f$ :** La fonction $f(x,y) = x^2 - 2y$ est un polynôme en $x$ et $y$, donc elle est définie pour tous les réels $x$ et $y$. **Domaine :** $$\mathbb{R}^2$$. 3. **Calcul des dérivées partielles premières :** - Dérivée partielle par rapport à $x$ : $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - 2y) = 2x$$ - Dérivée partielle par rapport à $y$ : $$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 - 2y) = -2$$ 4. **Calcul des dérivées partielles secondes :** - $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(2x) = 2$$ - $$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(-2) = 0$$ - Dérivée croisée : $$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x) = 0$$ 5. **Équation du plan tangent $P$ au point $(\sqrt{2}, y_0)$ :** Soit le point $M_0 = (\sqrt{2}, y_0)$. Calcul de $f(\sqrt{2}, y_0)$ : $$f(\sqrt{2}, y_0) = (\sqrt{2})^2 - 2y_0 = 2 - 2y_0$$ L'équation du plan tangent est : $$z = f(M_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(M_0)(x - \sqrt{2}) + \frac{\partial f}{\partial y}(M_0)(y - y_0)$$ Calcul des dérivées partielles au point : $$\frac{\partial f}{\partial x}(\sqrt{2}, y_0) = 2\sqrt{2}$$ $$\frac{\partial f}{\partial y}(\sqrt{2}, y_0) = -2$$ Donc : $$z = 2 - 2y_0 + 2\sqrt{2}(x - \sqrt{2}) - 2(y - y_0)$$ Simplification : $$z = 2 - 2y_0 + 2\sqrt{2}x - 4 - 2y + 2y_0 = 2\sqrt{2}x - 2y - 2$$ 6. **Formule de Taylor à l'ordre 2 au voisinage de $(\sqrt{2}, y_0)$ :** La formule de Taylor à l'ordre 2 est : $$f(x,y) \approx f(M_0) + \nabla f(M_0) \cdot \begin{pmatrix} x - \sqrt{2} \\ y - y_0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} x - \sqrt{2} & y - y_0 \end{pmatrix} H_f(M_0) \begin{pmatrix} x - \sqrt{2} \\ y - y_0 \end{pmatrix}$$ Où $H_f(M_0)$ est la matrice Hessienne : $$H_f = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Donc : $$f(x,y) \approx 2 - 2y_0 + 2\sqrt{2}(x - \sqrt{2}) - 2(y - y_0) + \frac{1}{2} \left[ 2(x - \sqrt{2})^2 + 0 + 0 + 0 \right]$$ Simplification : $$f(x,y) \approx 2 - 2y_0 + 2\sqrt{2}(x - \sqrt{2}) - 2(y - y_0) + (x - \sqrt{2})^2$$ 7. **Étude de la position de la surface par rapport au plan tangent $P$ :** La différence entre $f(x,y)$ et le plan tangent est donnée par le terme quadratique : $$f(x,y) - P(x,y) \approx (x - \sqrt{2})^2$$ Ce terme est toujours positif ou nul, donc la surface est au-dessus ou tangente au plan tangent. 8. **Variation absolue de $x$ diminue de 2% et variation absolue de $f$ :** La variation de $f$ est approximée par : $$\Delta f \approx \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y$$ Si seule la variation de $x$ diminue de 2%, alors la variation absolue de $f$ diminue proportionnellement à $2x$. **Résumé :** - Domaine : $$\mathbb{R}^2$$ - Dérivées premières : $$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$$, $$\frac{\partial f}{\partial y} = -2$$ - Dérivées secondes : $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2$$, $$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$$, $$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0$$ - Plan tangent au point $(\sqrt{2}, y_0)$ : $$z = 2\sqrt{2}x - 2y - 2$$ - Formule de Taylor à l'ordre 2 : $$f(x,y) \approx 2 - 2y_0 + 2\sqrt{2}(x - \sqrt{2}) - 2(y - y_0) + (x - \sqrt{2})^2$$ - La surface est au-dessus ou tangente au plan tangent.