1. **Énoncé du problème :** La fonction $u$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $u(w) = w - \cos(w)$. Nous devons : - Déterminer les limites de $u$ en $-\infty$ et $+\infty$. - Montrer que $u$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - Montrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$. - Donner un encadrement d'amplitude 0,1 de $\alpha$. - En déduire le signe de $u(x)$ selon les valeurs de $x$. 2. **Limites de la fonction $u$ :** - Lorsque $w \to +\infty$, $w$ tend vers $+\infty$ et $\cos(w)$ est borné entre $-1$ et $1$, donc $$\lim_{w \to +\infty} u(w) = \lim_{w \to +\infty} (w - \cos(w)) = +\infty.$$ - Lorsque $w \to -\infty$, $w$ tend vers $-\infty$ et $\cos(w)$ reste borné, donc $$\lim_{w \to -\infty} u(w) = \lim_{w \to -\infty} (w - \cos(w)) = -\infty.$$ 3. **Montrer que $u$ est strictement croissante :** - Calculons la dérivée : $$u'(w) = \frac{d}{dw}(w - \cos(w)) = 1 + \sin(w).$$ - Comme $\sin(w)$ varie entre $-1$ et $1$, on a $$u'(w) = 1 + \sin(w) \geq 1 - 1 = 0,$$ mais pour montrer la stricte croissance, il faut vérifier que $u'(w) > 0$ pour tout $w$. - Or, $\sin(w) = -1$ seulement en $w = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, mais même là, $$u'(w) = 1 + (-1) = 0,$$ ce qui signifie que $u'(w) \geq 0$ mais pas strictement positive partout. - Cependant, la fonction $u$ est strictement croissante car la dérivée ne s'annule qu'en des points isolés et la fonction est continue. 4. **Montrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ :** - $u$ est continue et strictement croissante (montrée ci-dessus). - Calculons $u(0) = 0 - \cos(0) = -1 < 0$. - Calculons $u(1) = 1 - \cos(1) > 0$ car $\cos(1) \approx 0.54$ donc $u(1) \approx 0.46 > 0$. - Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une solution $\alpha \in (0,1)$ telle que $u(\alpha) = 0$. - Comme $u$ est strictement croissante, cette solution est unique. 5. **Encadrement d'amplitude 0,1 de $\alpha$ :** - Testons $u(0.8)$ : $$u(0.8) = 0.8 - \cos(0.8) \approx 0.8 - 0.6967 = 0.1033 > 0.$$ - Testons $u(0.7)$ : $$u(0.7) = 0.7 - \cos(0.7) \approx 0.7 - 0.7648 = -0.0648 < 0.$$ - Donc $\alpha \in (0.7, 0.8)$, un encadrement d'amplitude 0,1. 6. **Signe de $u(x)$ selon $x$ :** - Puisque $u$ est strictement croissante et $u(\alpha) = 0$, on a : - Pour $x < \alpha$, $u(x) < 0$. - Pour $x = \alpha$, $u(x) = 0$. - Pour $x > \alpha$, $u(x) > 0$. **Réponse finale :** - $\lim_{w \to -\infty} u(w) = -\infty$ et $\lim_{w \to +\infty} u(w) = +\infty$. - $u$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - L'équation $u(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in (0.7, 0.8)$. - $u(x)$ est négative pour $x < \alpha$, nulle en $x=\alpha$, et positive pour $x > \alpha$.