1. **Énoncé du problème :** Nous avons trois fonctions définies par : $$f(x) = x - \frac{1}{x}, \quad g(x) = x + \frac{1}{x}, \quad h(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$$ Nous devons : - Préciser l'ensemble de définition de chacune des fonctions $f$, $g$, $h$ et de la fonction $\frac{g}{f}$. - Déterminer l'expression de $\left(\frac{g}{f}\right)(x)$. - Vérifier si $h$ et $\frac{g}{f}$ sont égales. 2. **Ensembles de définition :** - Pour $f(x) = x - \frac{1}{x}$, la fonction est définie pour tout $x \neq 0$ car la division par zéro est interdite. - Pour $g(x) = x + \frac{1}{x}$, même raisonnement : $x \neq 0$. - Pour $h(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$, le dénominateur $x^2 + 1$ est toujours strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$, donc $h$ est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$. - Pour $\frac{g}{f}(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$, il faut que $x \neq 0$ (pour $f$ et $g$ définies) et que $f(x) \neq 0$ (pour ne pas diviser par zéro). Calculons quand $f(x) = 0$ : $$x - \frac{1}{x} = 0 \implies x = \frac{1}{x} \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ Donc $f(x) = 0$ pour $x = 1$ ou $x = -1$. Ainsi, l'ensemble de définition de $\frac{g}{f}$ est : $$\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0, x \neq 1, x \neq -1\}$$ 3. **Calcul de $\left(\frac{g}{f}\right)(x)$ :** $$\left(\frac{g}{f}\right)(x) = \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{x + \frac{1}{x}}{x - \frac{1}{x}}$$ Mettons au même dénominateur dans numérateur et dénominateur : $$= \frac{\frac{x^2 + 1}{x}}{\frac{x^2 - 1}{x}} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$$ 4. **Comparaison entre $h(x)$ et $\frac{g}{f}(x)$ :** Rappel : $$h(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$$ $$\left(\frac{g}{f}\right)(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$$ On voit que : $$h(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \neq \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \left(\frac{g}{f}\right)(x)$$ Donc, les fonctions $h$ et $\frac{g}{f}$ ne sont pas égales. **Réponse finale :** - $\mathcal{D}_f = \mathcal{D}_g = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ - $\mathcal{D}_h = \mathbb{R}$ - $\mathcal{D}_{\frac{g}{f}} = \mathbb{R} \setminus \{0, 1, -1\}$ - $$\left(\frac{g}{f}\right)(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$$ - $h$ et $\frac{g}{f}$ ne sont pas égales.