1. **Énoncé du problème :** Étudier les fonctions $f(x) = \frac{x-3}{2x+2}$, $g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x - \frac{3}{2}$, et $h(x) = g(|x|)$. --- ### I) Fonction $f(x) = \frac{x-3}{2x+2}$ 1) **Déterminer le domaine de définition $D_f$** La fonction $f$ est définie pour tous les $x$ tels que le dénominateur $2x+2 \neq 0$. $$ 2x + 2 \neq 0 \implies 2x \neq -2 \implies x \neq -1 $$ Donc, $$ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\} $$ 2) **Nature et caractéristiques de la courbe $C_f$** - $f$ est une fonction rationnelle. - Asymptotes verticales : $x = -1$ (car dénominateur nul). - Asymptote horizontale : calculons la limite en $\pm \infty$. $$ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x-3}{2x+2} = \frac{1}{2} $$ Donc asymptote horizontale $y = \frac{1}{2}$. 3) **Tableau de variation de $f$** Calculons la dérivée : $$ f'(x) = \frac{(1)(2x+2) - (x-3)(2)}{(2x+2)^2} = \frac{2x + 2 - 2x + 6}{(2x+2)^2} = \frac{8}{(2x+2)^2} $$ Comme le dénominateur est toujours positif sauf en $x=-1$ où la fonction n'est pas définie, $f'(x) > 0$ pour tout $x \neq -1$. Donc $f$ est strictement croissante sur $(-\infty, -1)$ et sur $(-1, +\infty)$. 4) **Construction de $C_f$** - Asymptote verticale $x = -1$. - Asymptote horizontale $y = \frac{1}{2}$. - $f$ croissante sur chaque intervalle. --- ### II) Fonction $g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x - \frac{3}{2}$ 1) **Nature et caractéristiques de $C_g$** - $g$ est une fonction polynomiale du second degré (parabole). - Coefficient de $x^2$ négatif donc parabole ouverte vers le bas. Calcul du sommet : $$ x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times (-\frac{1}{2})} = -\frac{2}{-1} = 2 $$ $$ y_s = g(2) = -\frac{1}{2} \times 4 + 2 \times 2 - \frac{3}{2} = -2 + 4 - 1.5 = 0.5 $$ Le sommet est $S(2, 0.5)$. 2) **Tableau de variation de $g$** - $g$ croît sur $(-\infty, 2)$ et décroît sur $(2, +\infty)$. 3) **Points d'intersection avec les axes** - Axe des ordonnées ($x=0$) : $$ g(0) = -\frac{3}{2} = -1.5 $$ - Axe des abscisses ($g(x) = 0$) : Résolvons $-rac{1}{2}x^2 + 2x - \frac{3}{2} = 0$. Multiplions par $-2$ pour simplifier : $$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$ $$ \Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4 $$ $$ x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 $$ Donc les points d'intersection sont $(1,0)$ et $(3,0)$. --- ### III) Fonction $h(x) = g(|x|)$ 1) **Parité de $h$** Pour tout $x$, $$ h(-x) = g(|-x|) = g(|x|) = h(x) $$ Donc $h$ est une fonction paire. --- **Réponse finale :** - $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. - $f$ est strictement croissante sur ses intervalles de définition avec asymptotes $x=-1$ et $y=\frac{1}{2}$. - $g$ est une parabole ouverte vers le bas avec sommet $S(2, 0.5)$, croissante puis décroissante. - $g$ coupe l'axe des ordonnées en $(0, -1.5)$ et l'axe des abscisses en $(1,0)$ et $(3,0)$. - $h$ est paire.