1. **Énoncé du problème :** Nous avons plusieurs questions sur les fonctions $f$ et $g$, leurs inverses, dérivées, suites définies par récurrence, et étude de continuité, dérivabilité, limites, variations, et solutions d'équations. --- ### Partie 1 : Fonction $f$ et son inverse 2.b Montrer que $f^{-1}$ est dérivable sur un intervalle $J$. 1. Rappel : Si $f$ est bijective et dérivable avec $f'(x) \neq 0$ sur $J$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $f(J)$ et $$ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} $$ 2. Montrer que $f$ est strictement monotone (donc bijective) sur $J$. 3. Vérifier que $f'(x) \neq 0$ sur $J$. 4. Conclure que $f^{-1}$ est dérivable sur $f(J)$. --- 2.c Calculer $(f^{-1})'(1)$. 1. Trouver $a$ tel que $f(a) = 1$. 2. Calculer $f'(a)$. 3. Utiliser la formule $$ (f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(a)} $$ --- 2.d Tracer $(C^{gr})$ dans le repère $(0, \vec{i}, \vec{j})$. 1. Identifier la fonction $g$ ou $f$ à tracer. 2. Utiliser les points clés, limites, et variations pour esquisser la courbe. --- ### 2ᵉ partie : Suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \frac{1}{e}$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ ① Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, \frac{1}{e} \leq u_n \leq 1$. 1. Montrer que $u_0 = \frac{1}{e}$ vérifie la propriété. 2. Supposer $\frac{1}{e} \leq u_n \leq 1$. 3. Montrer que $f$ conserve cet intervalle : $f\left([\frac{1}{e},1]\right) \subseteq [\frac{1}{e},1]$. 4. Conclure par récurrence. ② Montrer que $(u_n)$ est croissante. 1. Montrer que $f$ est croissante sur $[\frac{1}{e},1]$. 2. Utiliser la définition de la suite pour montrer $u_{n+1} = f(u_n) \geq u_n$. ③ Montrer que $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite. 1. $(u_n)$ est croissante et majorée donc convergente. 2. Soit $l = \lim_{n \to \infty} u_n$. 3. Passer à la limite dans la relation de récurrence : $l = f(l)$. 4. Résoudre $f(l) = l$ pour trouver la limite. --- ### Exercice 3 : Fonction $g(x) = x - \ln x$ ① Déterminer $D^g$ et les limites aux bornes. 1. $D^g = ]0, +\infty[$ car $\ln x$ défini pour $x>0$. 2. Calculer $$ \lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} (x - \ln x) = +\infty $$ car $\ln x \to -\infty$. 3. Calculer $$ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty $$ car $x$ domine $\ln x$. ② Calculer $g'(x)$ et étudier les variations. 1. $g'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$. 2. $g'(x) > 0$ pour $x > 1$, $g'(x) < 0$ pour $0 < x < 1$. 3. $g$ décroissante sur $]0,1[$, croissante sur $]1,+\infty[$. ③ En déduire que $\forall x > 0$, $\ln x < x$. 1. $g(x) = x - \ln x > 0$ sauf en $x=1$ où $g(1)=0$. 2. Donc $\ln x < x$ pour tout $x > 0$, $x \neq 1$. --- ### 2ᵉ partie : Fonction $f$ définie par $$ f(x) = \begin{cases} \frac{x + \ln x}{x - \ln x} & x > 0 \\ -1 & x=0 \end{cases} $$ ① Déterminer $D^f$. 1. $D^f = [0, +\infty[$ car $\ln x$ défini pour $x>0$ et $f(0)$ donné. ② a. Montrer que $f$ est continue en 0 à droite. 1. Calculer $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x + \ln x}{x - \ln x} $$ 2. Comme $\ln x \to -\infty$, étudier le comportement du quotient. 3. Montrer que cette limite vaut $-1 = f(0)$. b. Étudier la dérivabilité en 0 à droite. 1. Calculer $$ f'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} $$ 2. Vérifier si cette limite existe et interpréter géométriquement. ③ Calculer $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) $$ 1. Déjà fait en ②a. ④ Calculer $f'(x)$ pour $x > 0$ et étudier les variations. 1. Utiliser la dérivation d'un quotient. 2. Étudier le signe de $f'(x)$. ⑤ Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ avec $\frac{1}{2} < \alpha < 1$. 1. Résoudre $f(x) = 0 \Rightarrow x + \ln x = 0$. 2. Étudier la fonction $h(x) = x + \ln x$ sur $]0, +\infty[$. 3. Montrer qu'elle s'annule une seule fois dans $]\frac{1}{2}, 1[$. ⑥ Tracer $(C^f)$ dans un repère orthonormé $(0, \vec{i}, \vec{j})$. 1. Utiliser les points clés, limites, variations, et approximations $e \approx 2.7$, $\ln 2 \approx 0.7$. --- **Fin des solutions.**