1. **Énoncé du problème :** Nous avons plusieurs questions sur les fonctions $f$ et $g$, leurs inverses, suites associées, dérivées, limites, continuité, et tracés. --- 2. **Partie b : Montrer que $f^{-1}$ est dérivable sur $J$** - Rappel : Si $f$ est bijective et dérivable avec $f'(x) \neq 0$ sur un intervalle $I$, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $J = f(I)$ et $$ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} $$ - Il faut donc vérifier que $f$ est bijective et $f'(x) \neq 0$ sur $I$. --- 3. **Partie c : Calculer $(f^{-1})'(1)$** - Utiliser la formule : $$ (f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(f^{-1}(1))} $$ - Trouver $x_0 = f^{-1}(1)$, c'est-à-dire $f(x_0) = 1$. - Calculer $f'(x_0)$ puis inverser. --- 4. **Partie d : Tracer $(\mathcal{C}f_r)$ dans le repère $(0,\mathbf{i},\mathbf{j})$** - Tracer la courbe représentative de $f_r$ (fonction restreinte ou dérivée) dans le plan cartésien. --- 5. **Suite $(u_n)$ définie par :** $$ u_0 = \frac{1}{e}, \quad u_{n+1} = f(u_n) $$ ① Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, \frac{1}{e} \leq u_n \leq 1$ : - Par récurrence, vérifier la propriété pour $n=0$. - Supposer vraie pour $n$, montrer pour $n+1$ en utilisant la monotonie et l'image de $f$. ② Montrer que $(u_n)$ est croissante : - Montrer $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n \geq 0$. - Utiliser la croissance de $f$ ou la dérivée. ③ Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer la limite $l$ : - $(u_n)$ croissante et majorée donc convergente. - Limite $l$ vérifie $l = f(l)$. - Résoudre $l = f(l)$ pour trouver $l$. --- 6. **Exercice 3 : Fonction $g(x) = x - \ln x$** ① Déterminer $D_g$ et limites aux bornes : - $D_g = ]0, +\infty[$ car $\ln x$ défini pour $x>0$. - Limites : $$ \lim_{x \to 0^+} g(x) = 0 - (-\infty) = +\infty $$ $$ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty - \infty \text{ (forme indéterminée)} $$ - Étudier plus précisément la limite à l'infini. ② Calculer $g'(x)$ et étudier les variations : $$ g'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x} $$ - Signe de $g'(x)$ : négatif si $x<1$, positif si $x>1$. - $g$ décroissante sur $]0,1[$, croissante sur $]1,+\infty[$. ③ En déduire que $\forall x > 0$, $\ln x < x$ : - $g(x) = x - \ln x > 0$ sauf en $x=1$ où $g(1)=0$. - Donc $\ln x < x$. --- 7. **Fonction $f$ définie par :** $$ f(x) = \frac{x + \ln x}{x - \ln x}, x>0; \quad f(0) = -1 $$ ① Déterminer $D_f$ : - $x>0$ et $x - \ln x \neq 0$. - Trouver les valeurs annulant le dénominateur. ② a) Montrer que $f$ est continue en 0 à droite : - Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et vérifier qu'il vaut $f(0) = -1$. b) Étudier la dérivabilité en 0 à droite : - Calculer la limite du taux d'accroissement. - Interpréter géométriquement (tangente verticale, horizontale, etc.). ③ Calculer $\lim_{x \to 0} f(x)$ et interpréter géométriquement. ④ Calculer $f'(x)$ pour $x \in D_f \setminus \{0\}$ et étudier les variations. ⑤ Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ avec $\frac{1}{2} < \alpha < 1$. ⑥ Tracer $(\mathcal{C}f)$ dans un repère orthonormé. --- **Résumé des résultats clés :** - $f^{-1}$ dérivable sur $J$ avec $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$. - $(u_n)$ croissante, bornée, converge vers $l$ solution de $l = f(l)$. - $g$ décroissante puis croissante, $\ln x < x$. - $f$ continue en 0, dérivable à droite étudiée. - $f(x) = 0$ a une unique solution $\alpha \in (\frac{1}{2},1)$. --- **Desmos :** - $f(x) = \frac{x + \ln x}{x - \ln x}$ - $g(x) = x - \ln x$