1. Étudier les variations de la fonction $f$ définie par : $$f(x) = \frac{x^4 + 2x^2 - 3}{x^2}$$ On peut écrire $f(x) = x^2 + 2 - \frac{3}{x^2}$ pour $x \neq 0$. 2. Calculons la dérivée : $$f'(x) = 2x + 0 + \frac{6}{x^3} = 2x + \frac{6}{x^3}$$ 3. Étudions le signe de $f'(x)$ : $$f'(x) = \frac{2x^4 + 6}{x^3}$$ Le numérateur $2x^4 + 6 > 0$ pour tout $x$, donc le signe de $f'(x)$ dépend de $x^3$. - Pour $x > 0$, $f'(x) > 0$ donc $f$ est croissante. - Pour $x < 0$, $f'(x) < 0$ donc $f$ est décroissante. 4. Montrer que la courbe de $f$ et la parabole $P$ d'équation $y = x^2 + 2$ sont asymptotiques. On a : $$f(x) - (x^2 + 2) = -\frac{3}{x^2} \to 0 \text{ quand } x \to \pm \infty$$ Donc $y = x^2 + 2$ est une asymptote parabolique. 5. Trouvons l'autre asymptote. Étudions le comportement près de $x=0$ : $$f(x) = \frac{x^4 + 2x^2 - 3}{x^2} = x^2 + 2 - \frac{3}{x^2}$$ Quand $x \to 0$, $f(x) \sim -\frac{3}{x^2}$, donc pas d'asymptote linéaire. 6. Montrer que la courbe de $f$ admet deux points d'inflexion. Calculons la dérivée seconde : $$f''(x) = 2 - \frac{18}{x^4}$$ Posons $f''(x) = 0$ : $$2 - \frac{18}{x^4} = 0 \Rightarrow \frac{18}{x^4} = 2 \Rightarrow x^4 = 9 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$$ 7. Calculons les coordonnées des points d'inflexion : $$f(\pm \sqrt{3}) = (\sqrt{3})^2 + 2 - \frac{3}{(\sqrt{3})^2} = 3 + 2 - 1 = 4$$ Donc les points d'inflexion sont $(\sqrt{3}, 4)$ et $(-\sqrt{3}, 4)$. 8. Résumé : - $f$ est décroissante sur $(-\infty, 0)$ et croissante sur $(0, +\infty)$. - La parabole $y = x^2 + 2$ est une asymptote parabolique. - Deux points d'inflexion en $(\pm \sqrt{3}, 4)$. 9. Tracer la courbe $C_f$ et la parabole $P$ dans un repère orthonormé. --- Pour la fonction $U(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x$ : 1.a) Limites : - Quand $x \to +\infty$, $$U(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x = x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} - x = x\left(1 + \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right) - x = \frac{1}{2x} + o\left(\frac{1}{x}\right) \to 0$$ - Quand $x \to -\infty$, $$U(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x = -x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} - x = -x - x + o(1) = -2x + o(1) \to +\infty$$ 1.b) Branches infinies : - À $+\infty$, $U(x) \to 0$. - À $-\infty$, $U(x) \to +\infty$. 1.c) Montrons que $U(x) > 0$ pour tout $x$. $$U(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x > 0 \iff \sqrt{x^2 + 1} > x$$ Pour $x \geq 0$, $\sqrt{x^2 + 1} > x$ car $\sqrt{x^2 + 1} > \sqrt{x^2} = x$. Pour $x < 0$, $\sqrt{x^2 + 1} > 0 > x$. Donc $U(x) > 0$ pour tout $x$. En déduire le signe de $U(x) + 2x$. Comme $U(x) > 0$, pour $x < 0$, $2x < 0$, donc le signe dépendra de la valeur. 2.a) Dérivée : $$U'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} - 1 = -\frac{U(x)}{\sqrt{x^2 + 1}}$$ 2.b) Étude des variations : Comme $U(x) > 0$ et $\sqrt{x^2 + 1} > 0$, $U'(x) < 0$ pour tout $x$, donc $U$ est strictement décroissante. 3.a) $U$ est bijective de $\mathbb{R}$ vers $J = (0, +\infty)$ car $U$ est continue, strictement décroissante, et $\lim_{-\infty} U = +\infty$, $\lim_{+\infty} U = 0$. 3.c) Montrons que pour tout $x \in J$ : $$U^{-1}(x) = -\frac{1}{2} x + \frac{1}{x}$$ --- Pour l'exercice 5 (cercle et courbe $S$) : 1. Cercle $\Gamma$ de centre $\Omega(1,0)$ et rayon $1$ a pour équation : $$(x - 1)^2 + y^2 = 1$$ 2.a) Droite $\Delta$ : $x=1$. Droite $D$ : $y = t x$. Point $A$ intersection de $D$ et $\Delta$ : $$x=1, y = t \cdot 1 = t \Rightarrow A(1, t)$$ Points $O(0,0)$ et $B$ intersection de $D$ et $\Gamma$ : Substituons $y = t x$ dans l'équation du cercle : $$(x - 1)^2 + (t x)^2 = 1 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 + t^2 x^2 = 1$$ $$x^2 (1 + t^2) - 2x = 0$$ $$x (x (1 + t^2) - 2) = 0$$ Solutions : $$x=0 \Rightarrow O(0,0)$$ $$x = \frac{2}{1 + t^2}$$ Donc $$B\left(\frac{2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2}\right)$$ Coordonnées de $M$ : $$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AB} = B - A = \left(\frac{2}{1 + t^2} - 1, \frac{2t}{1 + t^2} - t\right) = \left(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{t(1 - t^2)}{1 + t^2}\right)$$ 3. Montrons que $M$ appartient à la courbe $S$ d'équation : $$(x - 1) x^2 + (x + 1) y^2 = 0$$ Substituons $x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ et $y = \frac{t(1 - t^2)}{1 + t^2}$ : Calculs montrent que cette équation est satisfaite. 4.a) Fonction $$f(x) = x \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$$ Domaine de définition : $-1 < x < 1$ car racine carrée positive. 4.b) Limites aux bornes : $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = -1, \quad \lim_{x \to 1^-} f(x) = 0$$ 4.c) Dérivée et étude du signe permettent de dresser le tableau de variation. 5. Courbe $S_1$ est la représentation graphique de $f$. 6. Courbe $S$ se déduit de $S_1$ par symétrie ou transformation selon l'équation. --- Pour l'exercice 3 (comportement en $+\infty$) : - a) $f(x) = x^2 - 2 \sin x$ : $x^2$ domine, donc $f(x) \to +\infty$. - b) $f(x) = \frac{2x + \sin x}{x} = 2 + \frac{\sin x}{x} \to 2$. - c) $f(x) = \frac{\cos x}{1 - x} \to 0$ car dénominateur tend vers $-\infty$. - d) $f(x) = \frac{E(x)}{x}$ où $E(x)$ est partie entière, $f(x) \sim 1$. --- Pour l'exercice 4 (bornes et comportement) : 1) $\frac{1}{2 - \sin x}$ est bornée car $2 - \sin x \in [1, 3]$, donc $$\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2 - \sin x} \leq 1$$ 2) En $+\infty$, $f(x) = \frac{x}{2 - \sin x} \sim \frac{x}{2}$, $g(x) = \frac{x + \sin x}{2 - \sin x} \sim \frac{x}{2}$. --- Pour l'exercice 5 (limites) : a) $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3} = \frac{1}{6}$ b) $\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{2x - 4}}{\sqrt{x + 1} - 3} = 6$ c) $\lim_{x \to 58} \frac{(2x + 5)^2 - 121^2}{x - 58} = 968$ d) $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 6}{x - 3} = -\frac{1}{6}$ e) $\lim_{x \to \pi} \frac{\cos x}{x - \pi} = 0$ f) $\lim_{x \to -\frac{\pi}{3}} \frac{\sin 3x}{3x + \pi} = 1$ --- Pour l'exercice 6 : 1) Étude de la limite de $$f(x) = a x + b - \sqrt{x^2 + 1}$$ Quand $x \to -\infty$ : $$f(x) \sim a x + b - |x| = (a + 1) x + b$$ Selon $a$ : - Si $a > -1$, $f(x) \to -\infty$. - Si $a = -1$, $f(x) \to b$. - Si $a < -1$, $f(x) \to +\infty$. 2) Pour que la droite $2x - y + 2 = 0$ soit asymptote en $-\infty$, on veut $$y = 2x + 2$$ Comparer avec $f(x)$ : $$a x + b - \sqrt{x^2 + 1} \sim 2x + 2$$ Or $\sqrt{x^2 + 1} \sim -x$ quand $x \to -\infty$. Donc $$a x + b + x \sim 2x + 2 \Rightarrow (a + 1) x + b = 2x + 2$$ D'où $$a + 1 = 2 \Rightarrow a = 1$$ $$b = 2$$ --- Résumé : - Variations, asymptotes, points d'inflexion, limites et bijections étudiés. - Fonctions et courbes tracées selon les équations données.