1. **Étudier les variations de la fonction $g$ définie par $g(x) = x^3 + 3x + 8$.** Calculons la dérivée : $$g'(x) = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1).$$ Puisque $x^2 + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, alors $g'(x) > 0$ pour tout $x$. Donc, $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 2. **Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$ et que $-2 < \alpha < 0$.** Puisque $g$ est strictement croissante et continue (polynôme), l'équation $g(x) = 0$ a une unique solution. Calculons : $g(-2) = (-2)^3 + 3(-2) + 8 = -8 - 6 + 8 = -6 < 0$ $g(0) = 0 + 0 + 8 = 8 > 0$ Donc par le théorème des valeurs intermédiaires, $\exists \alpha \in (-2,0)$ tel que $g(\alpha) = 0$. 3. **Donner une approximation de $\alpha$ sur $(-2,0)$ à la précision 0.25.** Testons $g$ en points multiples de 0.25 : $g(-1.75) = (-1.75)^3 + 3(-1.75) +8 = -5.3594 -5.25 + 8 = -2.6094 < 0$ $g(-1.5) = (-1.5)^3 + 3(-1.5) +8 = -3.375 -4.5 + 8 = 0.125 > 0$ Donc $\alpha \in (-1.75, -1.5)$. On peut aussi vérifier $g(-1.625)$ : $g(-1.625) = (-1.625)^3 + 3(-1.625) + 8 = -4.29 - 4.875 + 8 = -1.165 < 0$ Donc $\alpha \in (-1.625, -1.5)$. À la précision 0.25, on prend $\alpha \approx -1.5$. 4. **En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.** Puisque $g$ est strictement croissante et $g(\alpha) = 0$ avec $\alpha \approx -1.5$, alors : - Pour $x < \alpha$, $g(x) <0$. - Pour $x > \alpha$, $g(x) >0$. --- II) Soit $f(x) = \frac{x^3 -4}{x^2 + 1}$. 1. **Déterminer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.** Pour $x \to \pm \infty$, $f(x) \sim \frac{x^3}{x^2} = x$ donc: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty,$$ $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty.$$ 2. **Montrer que $\forall x \in (-1, +\infty), f'(x) = \frac{x \cdot g(x)}{(x^2 + 1)^2}$.** Calculons $f'(x)$ par la règle du quotient : $$f'(x) = \frac{(3x^2)(x^2 +1) - (x^3-4)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^4 + 3x^2 - 2x^4 + 8x}{(x^2 +1)^2} = \frac{x^4 + 3x^2 + 8x}{(x^2 +1)^2}.$$ Regroupons le numérateur : $$x^4 + 3x^2 + 8x = x(x^3 + 3x + 8) = x g(x).$$ Donc, $$f'(x) = \frac{x g(x)}{(x^2 +1)^2}.$$ 3. **Donner le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.** On analyse le signe de $f'(x)$ : - $x$ change de signe en 0. - $g(x)$ change de signe en $\alpha \approx -1.5$ avec $g(x)<0$ pour $x<\alpha$ et $g(x)>0$ pour $x>\alpha$. Donc, $f'(x)$ est : - Positif quand $x < 0$ et $g(x) < 0$ soit $x < \alpha$ : $x<\alpha < -1.5$ impossible donc pour $x<\alpha$, $x<0$ négatif et $g(x)$ négatif donc $f'(x)>0$. - Pour $x \in (\alpha, 0)$, $x<0$, $g(x)>0$ donc $f'(x) <0$. - Pour $x >0$, $x>0$ et $g(x)>0$, donc $f'(x)>0$. En résumé : $f$ croît sur $(-\infty, \alpha)$, $f$ décroît sur $(\alpha, 0)$, $f$ croît sur $(0, +\infty)$. 4. **En écrivant $f(x) = \frac{x(x^3 -4)}{x^2 + 1}$, montrer que $f(\alpha) = \frac{3}{2} \alpha$.** À $x=\alpha$, $g(\alpha) = 0$ donc $$\alpha^3 + 3\alpha + 8 = 0 \Rightarrow \alpha^3 = -3\alpha -8.$$ Calculons $f(\alpha)$ : $$ f(\alpha) = \frac{\alpha^3 -4}{\alpha^2 +1} = \frac{-3\alpha -8 -4}{\alpha^2 +1} = \frac{-3\alpha - 12}{\alpha^2 +1} = \frac{-3(\alpha +4)}{\alpha^2 +1}.$$ Elle ne se simplifie pas immédiatement à $\frac{3}{2} \alpha$. Mais vérifions la forme donnée : $f(x) = \frac{x(x^3 -4)}{x^3 + x}$ est incorrect car dénominateur $x^3 + x = x(x^2+1)$. Relativisons : $$f(x) = \frac{x^3 -4}{x^2 +1} = \frac{x(x^3 -4)}{x(x^2 +1)} = \frac{x(x^3 -4)}{x^3 + x}.$$ Au dénominateur, $x^3 + x$. Pour $x = \alpha$, $$f(\alpha) = \frac{\alpha(\alpha^3 -4)}{\alpha^3 + \alpha}.$$ Utilisons $\alpha^3 = -3\alpha -8$: Numérateur : $\alpha(\alpha^3 - 4) = \alpha(-3\alpha -8 - 4) = \alpha(-3\alpha -12) = -3\alpha^2 -12\alpha.$ Dénominateur : $\alpha^3 + \alpha = (-3\alpha -8) + \alpha = -2\alpha -8.$ Donc $$f(\alpha) = \frac{-3\alpha^2 -12\alpha}{-2\alpha -8} = \frac{3\alpha^2 +12\alpha}{2\alpha +8}.$$ Factorisons le numérateur et le dénominateur par $\alpha + 4$: $$3\alpha^2 + 12\alpha = 3\alpha(\alpha + 4),$$ $$2\alpha +8 = 2(\alpha +4).$$ Donc $$f(\alpha) = \frac{3 \alpha (\alpha +4)}{2 (\alpha +4)} = \frac{3}{2} \alpha.$$ 5. **En déduire un encadrement de $f(\alpha)$.** On sait que $-2 < \alpha < 0$, donc $$\frac{3}{2} \times (-2) < f(\alpha) < \frac{3}{2} \times 0$$ $$-3 < f(\alpha) < 0.$$ --- Exercice 2 : 1. **Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, et montrer que $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.** Pour $x \geq 1$, $f(x) = \frac{x^3 -1}{x^3 +1}$. Pour $x \to +\infty$, $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 -1}{x^3 +1} = 1.$$ Pour $x < 1$, $f(x) = x -1 + 2\sqrt{1-x}$. Quand $x \to -\infty$, $\sqrt{1 - x} \to +\infty$ donc $f(x) \sim 2\sqrt{-x} \to +\infty$? Le sujet affirme $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, mais $x -1$ tend vers $-\infty$ et $2\sqrt{1-x} \to +\infty$, la somme est indéterminée. Pour $x \to -\infty$, $f(x) = x -1 + 2\sqrt{1-x} \approx x + const.$ car $\sqrt{1-x} \sim \sqrt{-x}$ grand mais $x$ négatif plus grand en valeur absolue. Calculons : $f(x) = x -1 + 2\sqrt{1 - x} = x -1 + 2\sqrt{-x ( -\frac{1}{x} + 1)} \approx x -1 + 2\sqrt{-x}.$ $p(x) = x + 2\sqrt{-x} -1$ quand $x \to -\infty$. Dominante $x$, ici négative très grande, donc $f(x) \to -\infty$. 2.a) **Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en 1.** Pour $x \geq 1$, $f$ est rationnelle et dérivable puisque dénominateur $x^3 +1 \neq 0$ pour $x\geq 1$. Dérivée à droite en 1 : $$f'(x) = \frac{(3x^2)(x^3 +1) - (x^3 -1)(3x^2)}{(x^3 +1)^2} = \frac{3x^2(x^3 +1 - x^3 +1)}{(x^3 +1)^2} = \frac{6x^2}{(x^3 +1)^2}.$$ En $x =1$, $$f'(1^+) = \frac{6 imes 1^2}{(1 +1)^2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.$$ Géométriquement, cela signifie que la tangente à droite en 1 a pour pente $\frac{3}{2}$. 2.b) **Dérivabilité à gauche en 1.** Pour $x < 1$, dérivons : $$f(x) = x -1 + 2\sqrt{1 - x},$$ $$f'(x) = 1 + 2 \times \frac{-1}{2 \sqrt{1 - x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - x}}.$$ En $x \to 1^-$, $\sqrt{1 - x} \to 0^+$ donc $f'(x) \to -\infty$. La dérivée à gauche en 1 n'existe pas (tangente verticale). 3.a) **Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[1, +\infty[$.** Sur $[1, +\infty[$, $f'(x) = \frac{6x^2}{(x^3 +1)^2} > 0$. Donc $f$ est strictement croissante. 3.b) **Montrer que pour $x < 1$, $f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x}(1 + \sqrt{1-x})}$.** Partons de $f(x) = x -1 + 2\sqrt{1 - x} = x -1 + 2\sqrt{1-x}$. Dérivée : $$f'(x) = 1 + 2 \times \frac{-1}{2\sqrt{1 - x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - x}} = \frac{\sqrt{1-x} - 1}{\sqrt{1-x}}.$$ Multiplions num et denom par $(\sqrt{1-x} + 1)$: $$f'(x) = \frac{(\sqrt{1-x} -1)(\sqrt{1-x} + 1)}{\sqrt{1-x}(\sqrt{1-x} +1)} = \frac{1 - x - 1}{\sqrt{1-x}(1 + \sqrt{1-x})} = \frac{-x}{\sqrt{1-x}(1 + \sqrt{1-x})}.$$ Donc démontré. 3.c) **Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.** Sur $(-\infty, 1)$, $f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x}(1 + \sqrt{1-x})}$. - Le dénominateur est positif. - Le signe de $f'(x)$ dépend de $-x$. Pour $x<0$, $-x >0$ donc $f'(x) >0$. Pour $0 < x <1$, $-x <0$ donc $f'(x) <0$. Donc $f$ est croissant sur $(-\infty, 0)$, décroissant sur $(0,1)$, puis croissant sur $[1, +\infty)$. 4.a) Soit $g$ la restriction de $f$ sur $[1, +\infty[$ Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$. Comme $f$ est strictement croissante sur $[1, +\infty)$ et continue, $g$ est bijective sur son image qui est un intervalle $J = [f(1), +\infty[$. Calculons $f(1) = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0$. Donc $J = [0, +\infty[$. 4.b) **Déterminer $g^{-1}(x)$ pour $x \in J$.** Pour $x \in [0, +\infty)$, $g(y) = \frac{y^3 -1}{y^3 +1} = x,$ résoudre pour $y$: $$x (y^3 +1) = y^3 -1$$ $$x y^3 + x = y^3 -1$$ $$y^3 - x y^3 = x + 1$$ $$y^3(1 - x) = x + 1$$ $$y^3 = \frac{x + 1}{1 - x}$$ Pour $x \in [0,1[$, la valeur est définie. Donc $$g^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x + 1}{1 - x}}.$$ (sur $J = [0,1[$ car pour $x=1$, division par 0). --- Exercice 3 : $q \mapsto h$ est continue en $3$ ? Posons : Pour $x >3$, $$h(x) = \frac{\sqrt[3]{x +5} -2}{x - 3}.$$ Pour $x <3$, $$h(x) = \frac{2x - a}{b x + 2 x - 3 b - 6} = \frac{2x - a}{x (b+2) - 3b -6}.$$ Avec $h(3) = c$. Calculons $\lim_{x \to 3^+} h(x)$. Au numérateur : $\sqrt[3]{3 + 5} - 2 = \sqrt[3]{8} -2 = 2 -2 = 0$. Au dénominateur : $3-3=0$ donc forme $0/0$. Utilisons la dérivée cubique et lim de type $\frac{0}{0}$: $$\lim_{x \to 3^+} h(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{\sqrt[3]{x+5} -2}{x-3} = \lim_{x \to 3^+} \frac{f(x) - f(3)}{x-3}$$ avec $f(x) = \sqrt[3]{x + 5}$. Donc $$ = f'(3) = \frac{1}{3 (\sqrt[3]{3 + 5})^2} = \frac{1}{3 \, 2^2} = \frac{1}{12}.$$ Puisque $$\lim_{x \to 3^-} h(x) = c = h(3),$$ calculons $$\lim_{x \to 3^-} h(x) = \frac{2 \times 3 - a}{3 (b+2) - 3b -6} = \frac{6 - a}{3b + 6 -3b -6} = \frac{6 - a}{0}.$$ Pour que la limite existe et soit finie, numérateur doit aussi être $0$: $$6 - a = 0 \implies a=6.$$ Fixé $a=6$. Dans ce cas, limite vaut $c$ donc $c$ peut être n'importe quelle valeur. Par continuité: $$c = \lim_{x \to 3^+} h(x) = \frac{1}{12}.$$ Enfin, le dénominateur doit tendre vers $0$ en $3$ dans une forme linéaire; évaluons dérivée du dénominateur à 3: La condition sur $b$ est que le dénominateur s'annule en 3, ce qu'il fait, mais pour $rac{2x - a}{denom}$ ne soit pas indéterminé, la dérivée au dénominateur non nulle. Il n'y a pas de contrainte supplémentaire sur $b$, prenons $b$ arbitraire. Résumé: $$a = 6, \quad c = \frac{1}{12}, \quad b \text{ quelconque}.$$ --- Exercice 4: 1) Soit $f$ continue sur $I$ et $f(x) \neq 0$ pour tout $x \in I$. Montrer que soit $\forall x , f(x) > 0$ ou $\forall x, f(x) < 0$. Car si $f$ changeait de signe, par continuité il y aurait un $x_0$ tel que $f(x_0) = 0$, contradiction. 2) Calcul des limites : - $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{x+6} - 2}{x^2 - 4}$$ Numérateur et dénominateur tendent vers 0 (car $\sqrt[3]{8} = 2$ et $2^2 -4=0$). Par la règle de l'Hôpital : $$\lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{3 (x+6)^{2/3}}}{2x} = \frac{1}{3 \times 8^{2/3} \times 4} = \frac{1}{3 \times 4^2 \times 4} = \frac{1}{3 \times 16 \times 4} = \frac{1}{192}.$$ Mais $8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$, donc: $$\lim_{x \to 2} = \frac{1}{3 \times 4 \times 4} = \frac{1}{48}.$$ - $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + x - x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3} = +\infty.$$ - $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x}} = \lim_{x \to +\infty} x^{1/3 - 1/4} = \lim_{x \to +\infty} x^{1/12} = +\infty.$$ - $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 + 3x - 2}}{x^2 - x} = \frac{\sqrt{1 + 3 -2}}{1 -1} = \frac{\sqrt{2}}{0} = +\infty.$$ 3) Montrer que $$\frac{\sqrt[8]{64 \times 2^{-1/2} \times \sqrt[6]{72}}}{\sqrt[4]{8} \times 3^{-2/3}} = 3.$$ Simplifions: Numerateur : $$64 = 2^6,$$ $$2^{-1/2} = 2^{-0.5},$$ $$\sqrt[6]{72} = 72^{1/6} = (2^3 \times 3^2)^{1/6} = 2^{1/2} \times 3^{1/3}.$$ Donc numerator $$= (2^6 \times 2^{-0.5} \times 2^{0.5} \times 3^{1/3})^{1/8} = (2^6 \times 3^{1/3})^{1/8} = 2^{6/8} \times 3^{1/24} = 2^{3/4} \times 3^{1/24}.$$ Denominator: $$\sqrt[4]{8} = 8^{1/4} = 2^{3/4},$$ $$3^{-2/3}.$$ Donc $$Den = 2^{3/4} \times 3^{-2/3}.$$ Le quotient : $$\frac{2^{3/4} \times 3^{1/24}}{2^{3/4} \times 3^{-2/3}} = 3^{1/24 + 2/3} = 3^{1/24 + 16/24} = 3^{17/24}.$$ $3^{17/24} \neq 3$ donc réexaminons. Erreur notable: La racine 8 sur $64 \times 2^{-0.5} \times 72^{1/6}$, on a mal distribué. Corrigeons : $$= \sqrt[8]{64 \times 2^{-1/2} \times 72^{1/6}} = 64^{1/8} \times 2^{-1/16} \times 72^{1/48} = 2^{6/8} \times 2^{-1/16} \times 72^{1/48} = 2^{3/4 - 1/16} \times 72^{1/48}.$$ Calculons $3/4 - 1/16 = 12/16 - 1/16 = 11/16$. Donc $$Num = 2^{11/16} \times 72^{1/48} = 2^{11/16} \times (2^3 \times 3^2)^{1/48} = 2^{11/16} \times 2^{3/48} \times 3^{2/48} = 2^{11/16 + 1/16} \times 3^{1/24} = 2^{12/16} \times 3^{1/24} = 2^{3/4} \times 3^{1/24}.$$ Dénominateur : $$2^{3/4} \times 3^{-2/3}.$$ Donc $$\frac{Num}{Den} = \frac{2^{3/4} \times 3^{1/24}}{2^{3/4} \times 3^{-2/3}} = 3^{1/24 + 2/3} = 3^{1/24 + 16/24} = 3^{17/24},$$ ce qui n'est pas 3. Conclusion problème : vraisemblablement une erreur de transcription. 4) Résoudre sur $\mathbb{R}$ : - $\sqrt[3]{1 - x} = x -1$. Posons $y = x -1$, alors $$\sqrt[3]{1 - x} = y,$$ $$1 - x = y^3,$$ or $y = x -1$, donc $$1 - x = (x -1)^3,$$ $$1 - x = x^3 - 3x^2 + 3x -1.$$ Déplaçons tous les termes: $$0 = x^3 - 3x^2 + 3x -1 + x -1 = x^3 - 3x^2 + 4x - 2.$$ Résolvons $$x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = 0.$$ Testons racines entières possibles $\pm1, \pm2$: - $x=1: 1 -3 +4 -2 =0$, racine trouvée. Division polynomiale par $x-1$ : $ x^3 -3x^2 +4x -2 = (x -1)(x^2 - 2x + 2).$ Discriminant du quadratique : \Delta = 4 - 8 = -4 <0$, pas d'autres racines réelles. Donc solutions réelles : $$x=1.$$ - $(1+ 2x)^5 - 32 = 0$. $$ (1 + 2x)^5 = 32 = 2^5,$$ donc $$1 + 2x = 2,$$ $$2x =1,$$ $$x = \frac{1}{2}.$$