1. **Probleemstelling:** We hebben de functie $$f(x) = x^2 + \frac{|x|}{x}$$ en willen: a) De grafiek tekenen voor $$x \in [-2,2]$$. b) De limiet van $$f(x)$$ in $$0$$ bepalen, inclusief linker- en rechterlimiet. c) De limiet van $$f(x)$$ in $$-1$$ bepalen, inclusief linker- en rechterlimiet. 2. **Formule en regels:** De functie bevat de term $$\frac{|x|}{x}$$, die gelijk is aan: - $$-1$$ voor $$x < 0$$ (want $$|x| = -x$$ als $$x<0$$, dus $$\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$$) - $$1$$ voor $$x > 0$$ (want $$|x| = x$$ als $$x>0$$, dus $$\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$$) - Niet gedefinieerd in $$x=0$$ (deling door nul) Dus kunnen we $$f(x)$$ herschrijven als: $$ f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{als } x < 0 \\ x^2 + 1 & \text{als } x > 0 \end{cases} $$ 3. **Grafiek tekenen (a):** Voor $$x < 0$$ is $$f(x) = x^2 - 1$$, een parabool die 1 naar beneden is verschoven. Voor $$x > 0$$ is $$f(x) = x^2 + 1$$, een parabool die 1 naar boven is verschoven. Bij $$x=0$$ is $$f(x)$$ niet gedefinieerd. 4. **Limiet in $$0$$ (b):** - Linkerlimiet: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 - 1) = 0^2 - 1 = -1$$ - Rechterlimiet: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1$$ Omdat linker- en rechterlimiet niet gelijk zijn, bestaat de limiet in $$0$$ niet. 5. **Limiet in $$-1$$ (c):** Voor $$x$$ dicht bij $$-1$$ geldt $$x < 0$$, dus gebruiken we $$f(x) = x^2 - 1$$. - Linkerlimiet: $$\lim_{x \to -1^-} f(x) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$$ - Rechterlimiet: $$\lim_{x \to -1^+} f(x) = (-1)^2 - 1 = 0$$ Beide limieten zijn gelijk, dus: $$\lim_{x \to -1} f(x) = 0$$ **Eindantwoorden:** - $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$$ - $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$$ - $$\lim_{x \to 0} f(x)$$ bestaat niet - $$\lim_{x \to -1} f(x) = 0$$