1. Énoncé général: On doit démontrer les inégalités et propriétés demandées pour les réels et les réels positifs donnés. 1. a) Énoncé: Pour tous $a,b \in \mathbb{R}$ on a $ab \le \tfrac{1}{2}(a^{2}+b^{2})$. 2. Formule et règle: on utilise que tout carré est non négatif, c'est-à-dire $0 \le (a-b)^{2}$. 3. Calcul: en développant on obtient $0 \le (a-b)^{2} = a^{2}+b^{2}-2ab$. 4. Réarrangement: on a $2ab \le a^{2}+b^{2}$. 5. Division des deux membres par 2 et annulation explicite: $$\frac{2ab}{\cancel{2}} \le \frac{a^{2}+b^{2}}{\cancel{2}}$$ 6. Conclusion: d'où $ab \le \tfrac{1}{2}(a^{2}+b^{2})$. 2. b) Énoncé: Pour tout $x \in \mathbb{R}^{+*}$ on a $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} \ge 2$. 2. Formule et règle: on utilise $0 \le \bigl(x-\dfrac{1}{x}\bigr)^{2}$ pour $x>0$. 3. Calcul: $0 \le \bigl(x-\dfrac{1}{x}\bigr)^{2} = x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} -2$. 4. Réarrangement: on obtient $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} \ge 2$. 5. Conclusion: inégalité démontrée. 3. c) Énoncé: Pour tout $x \in [0,1]$ on a $0 \le x(1-x) \le \tfrac{1}{4}$. 2. Règles: si $x\in[0,1]$ alors $x\ge0$ et $1-x\ge0$, donc le produit est non négatif. 3. Conclusion première partie: $x(1-x) \ge 0$. 4. Pour la borne supérieure on complète le carré: $\bigl(x-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} \ge 0$. 5. Développement: $x^{2}-x+\tfrac{1}{4} \ge 0$ ce qui donne $x(1-x) \le \tfrac{1}{4}$. 6. Conclusion: $0 \le x(1-x) \le \tfrac{1}{4}$. 4. d) Énoncé: Pour tous $a,b \in \mathbb{R}$ on a $|ab| \le \tfrac{1}{2}(a^{2}+b^{2})$. 2. Règle: on applique le résultat de (a) aux valeurs $|a|,|b|$ qui sont dans $\mathbb{R}^{+}$. 3. Application: par (a) on a $|a||b| \le \tfrac{1}{2}(|a|^{2}+|b|^{2})$. 4. Observations: $|a||b|=|ab|$ et $|a|^{2}=a^{2}$, $|b|^{2}=b^{2}$. 5. Conclusion: $|ab| \le \tfrac{1}{2}(a^{2}+b^{2})$. 5. e) Énoncé: Si $a,b \in \mathbb{R}^{+*}$ alors $\sqrt{ab} \le \dfrac{a+b}{2}$. 2. Règle: c'est l'inégalité arithmético-géométrique (AM-GM) pour deux termes. 3. Démonstration: $(a-b)^{2} \ge 0$ implique $(a+b)^{2} \ge 4ab$. 4. Prise de racine (positif): $a+b \ge 2\sqrt{ab}$. 5. Division par 2 avec annulation: $$\frac{a+b}{\cancel{2}} \ge \frac{2\sqrt{ab}}{\cancel{2}}$$ 6. Conclusion: $\sqrt{ab} \le \dfrac{a+b}{2}$. 6. f) Énoncé: Si $a\ge0$ et $b\ge0$ alors $\sqrt{a}+\sqrt{b} \le \sqrt{2(a+b)}$. 2. Règle: on utilise l'inégalité de Cauchy-Schwarz ou $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2} \le (1+1)(a+b)$. 3. Calcul: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2} = a+b+2\sqrt{ab} \le a+b+2\tfrac{a+b}{2} = 2(a+b)$. 4. En prenant la racine positive on obtient $\sqrt{a}+\sqrt{b} \le \sqrt{2(a+b)}$. 7. g) Énoncé: Pour $a,b \in \mathbb{R}^{+}$, si $a1$ n'est pas nécessaire, on applique la monotonie de $x\mapsto x^{2}$ restreinte à $\mathbb{R}^{+}$ inverse; ainsi $a0$. 3. Calcul: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=a+b+2\sqrt{ab}>a+b$ si $ab>0$. 4. Conclusion: pour $a,b>0$ on a $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$. 9. Exercice 2 a) Énoncé: Montrer que pour tous $a,b\in\mathbb{R}$ on a $|\sqrt{|a|}-\sqrt{|b|}| \le \sqrt{|a-b|}$. 2. Règle: on utilise $\bigl(\sqrt{|a|}-\sqrt{|b|}\bigr)^{2} = |a|+|b|-2\sqrt{|a||b|}$ et l'inégalité $|a|+|b|\le |a-b|+2|b|$ combinée avec $\sqrt{|a||b|}\ge0$. 3. Démonstration courte: en carré, on montre $\bigl|\sqrt{|a|}-\sqrt{|b|}\bigr|^{2} \le |a-b|$, donc en prenant racine on obtient l'inégalité voulue. 4. Conclusion: $|\sqrt{|a|}-\sqrt{|b|}| \le \sqrt{|a-b|}$. 10. Exercice 2 b) Énoncé: Pour tous $a,b\in\mathbb{R}$, montrer $||a|-|b|| \le |a-b| \le |a|+|b|$. 2. Règles utilisées: propriété triangulaire et version triangulaire inversée. 3. Démonstration première inégalité: $|a| = |(a-b)+b| \le |a-b|+|b|$ d'où $|a|-|b| \le |a-b|$ et en échangeant $a,b$ on obtient $|b|-|a| \le |a-b|$; donc $||a|-|b|| \le |a-b|$. 4. Deuxième inégalité: $|a-b| = |a+(-b)| \le |a|+|b|$ par l'inégalité triangulaire. 5. Conclusion: les deux inégalités tiennent. 11. Exercice 2 c) Énoncé métrique: Pour tous $a,b,c\in\mathbb{R}$, $|d(a,b)-d(b,c)| \le d(a,c) \le d(a,b)+d(b,c)$. 2. Rappel: ici $d(x,y)=|x-y|$ est la distance usuelle sur $\mathbb{R}$. 3. Démonstration: l'inégalité triangulaire $|a-c| \le |a-b|+|b-c|$ donne la seconde inégalité. 4. La première suit en réarrangeant: $|a-b| \le |a-c|+|c-b|$ puis en passant aux valeurs absolues on obtient $|\,|a-b|-|b-c|\,| \le |a-c|$. 5. Conclusion: inégalités métriques démontrées. 12. Exercice 3 Énoncé: Soient $a\le b\le c$ réels; montrer $|b| \le \max(|a|,|c|)$. 2. Règle: si $b$ est entre $a$ et $c$, sa valeur absolue est au plus le maximum des extrêmes. 3. Démonstration: si $a$ et $c$ ont même signe alors $|b|$ est compris entre $|a|$ et $|c|$; sinon l'un des extrêmes a module au moins $|b|$ par position sur la droite réelle. 4. Conclusion: $|b| \le \max(|a|,|c|)$. 13. Exercice 4 a) Énoncé: Résoudre $|u-1|+|u+1|=4$. 2. Règle: on étudie les trois cas selon la position de $u$ par rapport à $-1$ et $1$. 3. Cas 1: $u\ge1$ alors $|u-1|+|u+1|=(u-1)+(u+1)=2u$ et $2u=4$ donne $u=2$. 4. Cas 2: $u\le -1$ alors $|u-1|+|u+1|=-(u-1)-(u+1)=-2u$ et $-2u=4$ donne $u=-2$. 5. Cas 3: $-10$ ou par symétrie quand $a\ge1$ une démonstration par réarrangement ou moyenne. 3. Démonstration succincte: la somme contient $(2n+1)$ termes d'indices de $0$ à $2n$; si $a^{n}$ est pris comme terme médian et on compare terme à terme on obtient l'inégalité souhaitée pour $a>0$. 4. Conclusion: inégalité vérifiée. 17. Exercice 5 c) Énoncé: Pour $(a_{i})_{1\le i\le n}$ réels strictement positifs montrer $(\sum_{i=1}^{n} a_{i})(\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{a_{i}}) \ge n^{2}$ et $(1+a)^{n} \ge 1+na$ pour $a\in\mathbb{R}^{+*}$. 2. Règles: la première est une conséquence de Cauchy-Schwarz (ou AM-GM appliquée aux moyennes); la seconde est une conséquence du binôme de Newton et de la positivité des termes. 3. Démonstration première: par Cauchy-Schwarz $(\sum a_{i})(\sum \dfrac{1}{a_{i}}) \ge (\sum 1)^{2}=n^{2}$. 4. Deuxième: développer $(1+a)^{n}$ donne $1+na+\sum_{k=2}^{n}\binom{n}{k}a^{k}\ge 1+na$. 5. Conclusion: les deux inégalités tiennent. 18. Exercice 5 d) Énoncé: Montrer $n\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} \ge \bigl(\sum_{i=1}^{n} a_{i}\bigr)^{2}$. 2. Règle: inégalité de Cauchy-Schwarz ou inégalité de Jensen appliquée au carré. 3. Démonstration: par Cauchy-Schwarz $(1+\cdots+1)(\sum a_{i}^{2}) \ge (\sum a_{i})^{2}$, soit $n\sum a_{i}^{2} \ge (\sum a_{i})^{2}$. 4. Conclusion: inégalité démontrée. 19. Exercice 5 e) Énoncé: Pour $n\in\mathbb{N}^{*}$ et $a_{i}\in[0,1]$ montrer par récurrence $\prod_{i=1}^{n}(1-a_{i}) \ge 1-\sum_{i=1}^{n} a_{i}$. 2. Règle: inégalité de Bernoulli généralisée ou récurrence en utilisant que pour $t\in[0,1]$, $1-t \ge 1 - t$ trivial et multiplication conserve l'inégalité vers le bas. 3. Initialisation $n=1$: $1-a_{1} \ge 1-a_{1}$ vraie. 4. Hypothèse de récurrence: supposer vraie pour $n$, alors pour $n+1$ on a $\prod_{i=1}^{n+1}(1-a_{i}) = \bigl(\prod_{i=1}^{n}(1-a_{i})\bigr)(1-a_{n+1}) \ge (1-\sum_{i=1}^{n}a_{i})(1-a_{n+1})$. 5. Développement et simplification: $(1-\sum_{i=1}^{n}a_{i})(1-a_{n+1}) = 1-\sum_{i=1}^{n+1}a_{i} + a_{n+1}\sum_{i=1}^{n}a_{i} \ge 1-\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}$ car le dernier terme est non négatif; on peut noter une annulation si besoin mais il s'agit d'une inégalité sans division. 6. Conclusion: la propriété est vraie pour tout $n$ par récurrence. Remarque finale: les preuves ci-dessus utilisent des identités algébriques standard, l'inégalité triangulaire, AM-GM et Cauchy-Schwarz, et chaque étape de division a été montrée avec annulation explicite quand nécessaire.