1. **Énoncé du problème :** Soit $\alpha$, $\beta$ et $v$ des fonctions continues sur un intervalle $h=[a,b]\subset \mathbb{R}$ avec $\beta \geq 0$. On suppose que pour tout $t \in h$, on a $$v(t) \leq \alpha(t) + \int_a^t \beta(s) v(s) ds.$$ On définit la fonction $$w(t) = \int_a^t \beta(s) v(s) ds.$$ 2. **Vérification de l'inégalité sur $w'(t)$ :** Par définition, la dérivée de $w$ est $$w'(t) = \frac{d}{dt} \int_a^t \beta(s) v(s) ds = \beta(t) v(t).$$ Comme $v(t) \leq \alpha(t) + w(t)$ (car $w(t) = \int_a^t \beta(s) v(s) ds$), on a $$w'(t) = \beta(t) v(t) \leq \beta(t) \alpha(t) + \beta(t) w(t).$$ 3. **Définition de $B(t)$ et inégalité sur $e^{-B(t)} w'(t)$ :** On définit $$B(t) = \int_a^t \beta(s) ds.$$ Calculons $$\frac{d}{dt} \big(e^{-B(t)} w(t)\big) = e^{-B(t)} w'(t) - e^{-B(t)} B'(t) w(t) = e^{-B(t)} \big(w'(t) - \beta(t) w(t)\big).$$ D'après l'inégalité précédente, $$w'(t) \leq \beta(t) \alpha(t) + \beta(t) w(t) \implies w'(t) - \beta(t) w(t) \leq \beta(t) \alpha(t).$$ Donc $$\frac{d}{dt} \big(e^{-B(t)} w(t)\big) \leq e^{-B(t)} \beta(t) \alpha(t).$$ 4. **Intégration de l'inégalité :** Intégrons de $a$ à $t$ : $$e^{-B(t)} w(t) - e^{-B(a)} w(a) \leq \int_a^t e^{-B(s)} \beta(s) \alpha(s) ds.$$ Comme $w(a) = 0$ et $B(a) = 0$, on obtient $$w(t) \leq e^{B(t)} \int_a^t e^{-B(s)} \beta(s) \alpha(s) ds.$$ 5. **Inégalité de Gronwall :** Revenons à $v(t)$ : $$v(t) \leq \alpha(t) + w(t) \leq \alpha(t) + e^{B(t)} \int_a^t e^{-B(s)} \beta(s) \alpha(s) ds.$$ En développant $B(t)$, on peut écrire $$v(t) \leq \alpha(t) + \int_a^t e^{\int_s^t \beta(r) dr} \beta(s) \alpha(s) ds.$$ **Résumé final :** $$\boxed{v(t) \leq \alpha(t) + \int_a^t e^{\int_s^t \beta(r) dr} \beta(s) \alpha(s) ds}.$$