1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout $x > 0$, on a $$\frac{1}{x+1} < \ln(x+1) - \ln x < \frac{1}{x}.$$ 2. **Utilisation du théorème des accroissements finis (TAF) :** Le TAF dit que pour une fonction $h$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $(a,b)$, il existe $c \in (a,b)$ tel que $$h'(c) = \frac{h(b) - h(a)}{b - a}.$$ 3. **Application à la fonction logarithme :** Soit $h(t) = \ln t$, définie et dérivable sur $(0, +\infty)$ avec $h'(t) = \frac{1}{t}$. Appliquons le TAF sur l'intervalle $[x, x+1]$ avec $x > 0$ : $$\exists c \in (x, x+1) \quad \text{tel que} \quad h'(c) = \frac{\ln(x+1) - \ln x}{(x+1) - x} = \ln(x+1) - \ln x.$$ Donc $$\ln(x+1) - \ln x = \frac{1}{c}$$ avec $c \in (x, x+1)$. 4. **Inégalité sur $\frac{1}{c}$ :** Puisque $c \in (x, x+1)$ et que la fonction $t \mapsto \frac{1}{t}$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$, on a $$\frac{1}{x+1} < \frac{1}{c} < \frac{1}{x}.$$ Donc $$\frac{1}{x+1} < \ln(x+1) - \ln x < \frac{1}{x}.$$ **Réponse finale :** $$\boxed{\forall x > 0, \quad \frac{1}{x+1} < \ln(x+1) - \ln x < \frac{1}{x}.}$$