1. **Énoncé du problème :** Démontrer que pour tous réels $a$ et $b$, on a l'inégalité $$ab \leq \frac{1}{2}(a^2 + b^2).$$ 2. **Formule et règles importantes :** Cette inégalité est une forme de l'inégalité de Cauchy-Schwarz ou peut être vue comme une conséquence de la positivité du carré d'une différence. On utilise la propriété que pour tout réel $x$, $x^2 \geq 0$. 3. **Démonstration :** Considérons l'expression suivante : $$ (a - b)^2 \geq 0. $$ 4. En développant, on obtient : $$ a^2 - 2ab + b^2 \geq 0. $$ 5. En réarrangeant, on a : $$ -2ab \geq -a^2 - b^2. $$ 6. En multipliant par $-1$ (ce qui inverse le sens de l'inégalité) : $$ 2ab \leq a^2 + b^2. $$ 7. En divisant par 2 : $$ ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}. $$ 8. **Interprétation :** Cette inégalité montre que le produit de deux réels est toujours inférieur ou égal à la moyenne arithmético-quadratique de leurs carrés. **Réponse finale :** $$ \boxed{ab \leq \frac{1}{2}(a^2 + b^2)}. $$