1. Énonçons le problème : Soient $n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}$ et $p$ un entier tel que $1 \leq p < n$. On définit $$w_{n,p} = \sum_{k=0}^p \left(1 - \frac{k}{n}\right)^n.$$ Il faut montrer que $$w_{n,p} \geq e^{-p^2/(n-p)} \sum_{k=0}^p e^{-k}.$$ 2. Rappelons la formule de l'exponentielle limite : $$\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{x}{n}\right)^n = e^{-x}.$$ Pour $k \leq p < n$, on a $1 - \frac{k}{n} > 0$, donc $$\left(1 - \frac{k}{n}\right)^n = e^{n \ln\left(1 - \frac{k}{n}\right)}.$$ 3. Utilisons l'inégalité de Taylor pour $\ln(1 - x)$ avec $0 < x < 1$ : $$\ln(1 - x) \geq -x - \frac{x^2}{2(1 - x)}.$$ Ici, $x = \frac{k}{n}$, donc $$\ln\left(1 - \frac{k}{n}\right) \geq -\frac{k}{n} - \frac{k^2}{2n^2(1 - \frac{k}{n})} = -\frac{k}{n} - \frac{k^2}{2n(n-k)}.$$ 4. En multipliant par $n$, on obtient : $$n \ln\left(1 - \frac{k}{n}\right) \geq -k - \frac{k^2}{2(n-k)}.$$ Donc $$\left(1 - \frac{k}{n}\right)^n = e^{n \ln(1 - \frac{k}{n})} \geq e^{-k - \frac{k^2}{2(n-k)}} = e^{-k} e^{-\frac{k^2}{2(n-k)}}.$$ 5. En sommant sur $k$ de 0 à $p$, on a : $$w_{n,p} = \sum_{k=0}^p \left(1 - \frac{k}{n}\right)^n \geq \sum_{k=0}^p e^{-k} e^{-\frac{k^2}{2(n-k)}}.$$ 6. Observons que pour $k \leq p < n$, $\frac{k^2}{2(n-k)} \leq \frac{p^2}{2(n-p)}$. Donc $$e^{-\frac{k^2}{2(n-k)}} \geq e^{-\frac{p^2}{2(n-p)}}.$$ 7. En factorisant cette borne commune, on obtient : $$w_{n,p} \geq e^{-\frac{p^2}{2(n-p)}} \sum_{k=0}^p e^{-k}.$$ 8. Conclusion : Nous avons montré que $$w_{n,p} \geq e^{-\frac{p^2}{2(n-p)}} \sum_{k=0}^p e^{-k},$$ ce qui est exactement l'inégalité demandée.