1. Énoncé du problème : Montrer que pour tout $x \in [0,1[$, on a $$-\frac{x}{1-x} \leq \ln(1-x) \leq -x.$$ 2. Formule et règles importantes : La fonction logarithme naturel $\ln(1-x)$ est définie pour $x<1$. On utilise les inégalités classiques basées sur le développement en série de Taylor et les propriétés de la fonction logarithme. 3. Preuve de la borne supérieure : On sait que pour $x \in [0,1[$, la fonction $\ln(1-x)$ est négative et décroissante. On utilise l'inégalité bien connue : $$\ln(1-x) \leq -x.$$ Ceci vient du fait que la tangente en 0 de $\ln(1-x)$ est $-x$ et la fonction est concave. 4. Preuve de la borne inférieure : On montre que $$\ln(1-x) \geq -\frac{x}{1-x}.$$ En effet, la fonction $f(x) = \ln(1-x) + \frac{x}{1-x}$ satisfait $f(0)=0$ et sa dérivée est positive sur $[0,1[$, donc $f(x) \geq 0$. 5. Conclusion de la première question : On a donc bien $$-\frac{x}{1-x} \leq \ln(1-x) \leq -x$$ pour tout $x \in [0,1[$. --- 6. Deuxième question : Montrer que $$u_n \leq \frac{e}{e-1}.$$ Rappel : $$u_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^n.$$ 7. On remarque que chaque terme est positif et que $$\left(\frac{k}{n}\right)^n \leq e^{- (n-k)}$$ par une inégalité exponentielle. 8. En sommant, on obtient $$u_n \leq \sum_{k=1}^n e^{-(n-k)} = \sum_{j=0}^{n-1} e^{-j} = \frac{1 - e^{-n}}{1 - e^{-1}} < \frac{1}{1 - e^{-1}} = \frac{e}{e-1}.$$ --- 9. Troisième question : Soient $n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}$ et $p$ un entier tel que $1 \leq p < n$. On pose $$w_{n,p} = \sum_{k=0}^p \left(1 - \frac{k}{n}\right)^n.$$ Montrer que $$w_{n,p} \geq e^{-\frac{p^2}{n-p}} \sum_{k=0}^p e^{-k}.$$ 10. Preuve : On utilise l'inégalité classique $$\left(1 - \frac{k}{n}\right)^n \geq e^{-\frac{k n}{n-k}}$$ et on majore l'exposant par $$\frac{p^2}{n-p}$$ pour tous $k \leq p$. 11. Ainsi, $$w_{n,p} = \sum_{k=0}^p \left(1 - \frac{k}{n}\right)^n \geq e^{-\frac{p^2}{n-p}} \sum_{k=0}^p e^{-k}.$$ --- 12. Conclusion : Les inégalités précédentes permettent d'encadrer la somme $u_n$ et les sommes partielles $w_{n,p}$, montrant des bornes supérieures et inférieures précises en fonction de $n$ et $p$.