1. **Énoncé du problème 1** : Montrer que pour tout $a \in [0; \frac{\pi}{4}]$, on a $a \leq \tan a \leq 2a$. 2. **Formules et règles importantes** : La fonction tangente est croissante sur $[0; \frac{\pi}{2}[$ et dérivable. On utilisera la dérivée $\frac{d}{da} \tan a = \frac{1}{\cos^2 a}$. 3. **Démonstration de $a \leq \tan a$** : - Considérons la fonction $g(a) = \tan a - a$. - Calculons $g'(a) = \frac{1}{\cos^2 a} - 1 = \frac{1 - \cos^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \geq 0$ pour $a \in [0; \frac{\pi}{4}]$. - Comme $g'(a) \geq 0$ et $g(0) = 0$, $g$ est croissante et donc $g(a) \geq 0$ pour tout $a$ dans cet intervalle. - Conclusion : $\tan a \geq a$. 4. **Démonstration de $\tan a \leq 2a$** : - Considérons la fonction $h(a) = 2a - \tan a$. - Calculons $h'(a) = 2 - \frac{1}{\cos^2 a} = 2 - (1 + \tan^2 a) = 1 - \tan^2 a$. - Sur $[0; \frac{\pi}{4}]$, $\tan a \leq 1$, donc $h'(a) \geq 0$. - Comme $h(0) = 0$, $h$ est croissante et donc $h(a) \geq 0$. - Conclusion : $\tan a \leq 2a$. 5. **Résultat final** : Pour tout $a \in [0; \frac{\pi}{4}]$, on a bien $$a \leq \tan a \leq 2a.$$