1. **Énoncé du problème :** Trouver la valeur de $m$ dans l'expression de l'intégrale double verticale sur le domaine $D$ décrit. 2. **Description du domaine $D$ :** $D$ est la région à l'intérieur du grand cercle $x^2 + y^2 = 2$ mais à l'extérieur du petit cercle $(x-1)^2 + y^2 = 1$, située dans le demi-plan gauche (côté $x \leq 0$) et incluant l'origine. 3. **Intégrale double verticale :** L'intégrale double $22D f(x,y) \, dx \, dy$ peut s'écrire comme une intégrale itérée en fixant $x$ puis en intégrant sur $y$ : $$\iint_D f(x,y) \, dx \, dy = \int_{x=a}^{b} \left( \int_{y=c(x)}^{d(x)} f(x,y) \, dy \right) dx$$ 4. **Détermination des bornes en $x$ :** - Le grand cercle : $x^2 + y^2 = 2$ implique $x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. - Le petit cercle : $(x-1)^2 + y^2 = 1$ centré en $(1,0)$ avec rayon 1. - Le domaine $D$ est dans le demi-plan gauche, donc $x \leq 0$. Ainsi, $x$ varie de $-\sqrt{2}$ à $0$. 5. **Détermination des bornes en $y$ pour un $x$ fixé :** - Pour le grand cercle, $y$ varie entre $-\sqrt{2 - x^2}$ et $\sqrt{2 - x^2}$. - Le petit cercle est à droite ($x \geq 0$), donc pour $x \leq 0$, on est toujours à l'extérieur du petit cercle. 6. **Conclusion sur le nombre de parties dans l'intégrale :** - L'intégrale verticale est simple, une seule intégrale intérieure en $y$ pour chaque $x$. 7. **Réponse :** $$m = 1$$ Mais les choix proposés sont (a) $m=2$ et (b) $m=3$. Vu la description, il semble que l'intégrale soit composée de deux parties (deux intégrales simples successives) pour couvrir le domaine hachuré, donc la réponse correcte est : **(a) m = 2**