1. **Énoncé du problème :** Montrer que les intégrales $$\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$$ et $$\int_1^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t} dt$$ convergent. 2. **Formules et règles importantes :** - Une intégrale impropre $$\int_a^{+\infty} f(t) dt$$ converge si la limite $$\lim_{x \to +\infty} \int_a^x f(t) dt$$ existe et est finie. - Pour les fonctions oscillantes comme $$\sin(t)$$ et $$\cos(t)$$, on utilise souvent le critère d'Abel ou la convergence absolue. 3. **Étude de $$\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$$ :** - La fonction $$\frac{\sin(t)}{t}$$ est continue sur $$]0,+\infty[$$ et on pose $$f(t) = \frac{\sin(t)}{t}$$ avec $$f(0) = 1$$ par prolongement continu. - On sait que $$\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt = \frac{\pi}{2}$$ (intégrale de Dirichlet), donc elle converge. 4. **Étude de $$\int_1^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t} dt$$ :** - La fonction $$\frac{\cos(t)}{t}$$ est définie et continue sur $$[1,+\infty[$. - On utilise le critère d'Abel : $$\cos(t)$$ est bornée et de variation bornée, $$\frac{1}{t}$$ est positive, décroissante et tend vers 0. - Donc $$\int_1^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t} dt$$ converge (mais pas absolument car $$\int_1^{+\infty} \frac{|\cos(t)|}{t} dt$$ diverge). --- 1. **Énoncé :** Prouver que pour tout $$t \in \mathbb{R}$$, $$|\sin(t)| \geq \frac{1 - \cos(2t)}{2}$$ et en déduire que $$t \mapsto \frac{\sin(t)}{t}$$ n'est pas intégrable sur $$]0,+\infty[$$. 2. **Preuve de l'inégalité :** - Rappel : $$\sin^2(t) = \frac{1 - \cos(2t)}{2}$$. - Donc $$|\sin(t)| = \sqrt{\sin^2(t)} = \sqrt{\frac{1 - \cos(2t)}{2}} \geq \frac{1 - \cos(2t)}{2}$$ car $$\sqrt{x} \geq x$$ pour $$x \in [0,1]$$. 3. **Conséquence sur l'intégrabilité :** - Comme $$|\sin(t)| \geq \frac{1 - \cos(2t)}{2}$$, on a $$\left|\frac{\sin(t)}{t}\right| \geq \frac{1 - \cos(2t)}{2t}$$. - L'intégrale $$\int_0^{+\infty} \frac{1}{t} dt$$ diverge, et la partie oscillante ne suffit pas à rendre $$\frac{\sin(t)}{t}$$ absolument intégrable. - Donc $$\frac{\sin(t)}{t}$$ n'est pas intégrable sur $$]0,+\infty[$$ au sens de la valeur absolue. --- 1. **Énoncé :** Étudier la convergence de $$\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{e^t - 1} dt$$. 2. **Analyse :** - Pour $$t \to 0$$, $$e^t - 1 \sim t$$, donc $$\frac{\sin(t)}{e^t - 1} \sim \frac{t}{t} = 1$$, pas de problème de divergence à 0. - Pour $$t \to +\infty$$, $$e^t - 1 \sim e^t$$, donc $$\frac{\sin(t)}{e^t - 1} \sim \sin(t) e^{-t}$$ qui tend vers 0 rapidement. - La fonction est bornée et décroissante en valeur absolue, donc l'intégrale converge absolument. --- 1. **Énoncé :** Montrer que $$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(x)) dx$$ converge et calculer sa valeur. 2. **Convergence :** - $$\sin(x) > 0$$ sur $$]0, \frac{\pi}{2}[$, donc $$\ln(\sin(x))$$ est bien défini. - Près de 0, $$\sin(x) \sim x$$, donc $$\ln(\sin(x)) \sim \ln(x)$$ qui est intégrable sur $$]0, \epsilon[$. - Près de $$\frac{\pi}{2}$$, $$\sin(x) \to 1$$, donc pas de problème. 3. **Calcul de $$I$$ :** - On montre que $$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\cos(x)) dx$$ par symétrie. - Donc $$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(x)) + \ln(\cos(x)) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(x) \cos(x)) dx$$. - Or $$\sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)$$, donc $$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln\left(\frac{1}{2} \sin(2x)\right) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln\left(\frac{1}{2}\right) dx + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(2x)) dx$$. - Changement de variable $$u = 2x$$ donne $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(2x)) dx = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \ln(\sin u) du$$. 4. **Valeur connue :** - $$\int_0^{\pi} \ln(\sin u) du = -\pi \ln 2$$. - Donc $$2I = \frac{\pi}{2} \ln\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} (-\pi \ln 2) = -\pi \ln 2$$. - Finalement, $$I = -\frac{\pi}{2} \ln 2$$. --- **Réponse finale :** - $$\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$$ et $$\int_1^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t} dt$$ convergent. - $$|\sin(t)| \geq \frac{1 - \cos(2t)}{2}$$ et $$\frac{\sin(t)}{t}$$ n'est pas absolument intégrable sur $$]0,+\infty[$. - $$\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{e^t - 1} dt$$ converge. - $$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(x)) dx = -\frac{\pi}{2} \ln 2$$.