1. **Énoncé du problème :** Calculer les intégrales définies $$I_1 = \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} \, dx$$ et $$I_2 = \int_0^1 \frac{x^3}{1+x^2} \, dx$$ 2. **Calcul de $I_1$ à l'aide d'une primitive :** On pose $u = 1 + x^2$, alors $du = 2x \, dx$ donc $x \, dx = \frac{du}{2}$. L'intégrale devient $$I_1 = \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} \, dx = \int_{u=1}^{u=2} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{u} \, du$$ 3. **Calcul de la primitive :** $$\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C$$ Donc $$I_1 = \frac{1}{2} [\ln(u)]_1^2 = \frac{1}{2} (\ln(2) - \ln(1)) = \frac{1}{2} \ln(2)$$ 4. **Calcul de $I_1 + I_2$ :** On écrit $$I_1 + I_2 = \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} + \frac{x^3}{1+x^2} \, dx = \int_0^1 \frac{x + x^3}{1+x^2} \, dx = \int_0^1 \frac{x(1+x^2)}{1+x^2} \, dx = \int_0^1 x \, dx$$ 5. **Calcul de l'intégrale simplifiée :** $$\int_0^1 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$$ 6. **Déduction de $I_2$ :** $$I_2 = \left(I_1 + I_2\right) - I_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln(2)$$