1. We willen de limiet berekenen van $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^e}{e^x}$$ waarbij $$e \approx 2{,}72$$. 2. Dit is een limiet van de vorm $$\frac{\text{veelterm}}{\text{exponentiële functie}}$$ en exponentiële functies groeien sneller dan veeltermen. 3. We kunnen L'Hôpital's regel toepassen omdat zowel teller als noemer naar oneindig gaan. 4. Pas L'Hôpital's regel toe: differentieer teller en noemer naar $$x$$. $$\text{teller}' = e x^{e-1}$$ $$\text{noemer}' = e^x \ln(e) = e^x$$ 5. De limiet wordt nu: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e x^{e-1}}{e^x} = e \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{e-1}}{e^x}$$ 6. Herhaal L'Hôpital's regel totdat de macht van $$x$$ in de teller nul of negatief wordt. 7. Na voldoende keer toepassen zien we dat de exponentiële noemer sneller groeit dan elke veelterm in de teller, dus de limiet is 0. 8. Conclusie: $$\boxed{0}$$ De limiet is dus 0 omdat exponentiële functies sneller groeien dan machten van $$x$$.