1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite suivante : $$\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x^2 - 9}$$ 2. **Formule et règles importantes :** Pour calculer une limite où la substitution directe donne une forme indéterminée $\frac{0}{0}$, on factorise le numérateur et le dénominateur pour simplifier l'expression. 3. **Travail intermédiaire :** Factorisons le numérateur $x^3 - 27$ qui est une différence de cubes : $$x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$$ Factorisons le dénominateur $x^2 - 9$ qui est une différence de carrés : $$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$ 4. **Simplification :** $$\frac{x^3 - 27}{x^2 - 9} = \frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}{(x - 3)(x + 3)}$$ On peut simplifier par $\cancel{(x - 3)}$ (car $x \to 3$, $x \neq 3$) : $$= \frac{x^2 + 3x + 9}{x + 3}$$ 5. **Calcul de la limite simplifiée :** En remplaçant $x$ par 3 : $$\frac{3^2 + 3 \times 3 + 9}{3 + 3} = \frac{9 + 9 + 9}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$$ **Réponse finale :** $$\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x^2 - 9} = \frac{9}{2}$$