1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite suivante : $$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt[3]{x-1} - 2}{x - 9}$$ 2. **Formule et règles importantes :** Cette limite est de la forme $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ avec $f(x) = \sqrt[3]{x-1}$ et $a=9$. C'est la définition de la dérivée de $f$ en $a$ : $$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$$ 3. **Calcul de la dérivée :** La dérivée de $f(x) = (x-1)^{1/3}$ est : $$f'(x) = \frac{1}{3} (x-1)^{-2/3}$$ 4. **Calcul de $f'(9)$ :** $$f'(9) = \frac{1}{3} (9-1)^{-2/3} = \frac{1}{3} (8)^{-2/3}$$ 5. **Simplification de $(8)^{-2/3}$ :** $$8^{1/3} = 2 \Rightarrow 8^{-2/3} = \frac{1}{8^{2/3}} = \frac{1}{(8^{1/3})^2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$$ 6. **Valeur finale :** $$f'(9) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$ **Réponse finale :** $$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt[3]{x-1} - 2}{x - 9} = \frac{1}{12}$$