1. Énonçons le problème : Calculer la limite $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2}$$ en utilisant uniquement les limites usuelles au niveau bac. 2. Rappelons les limites usuelles importantes : - $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$ - $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$ (utile pour d'autres cas) 3. Observons que le numérateur est $$e^x - x - 1$$. On peut écrire $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$$ (développement limité au second ordre, mais ici on utilise juste la limite usuelle, donc on va raisonner autrement). 4. Posons $$f(x) = e^x - 1$$. On sait que $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1$$. 5. Alors, $$e^x - x - 1 = (e^x - 1) - x = f(x) - x$$. 6. Considérons $$\frac{e^x - x - 1}{x^2} = \frac{f(x) - x}{x^2} = \frac{f(x)}{x^2} - \frac{x}{x^2} = \frac{f(x)}{x^2} - \frac{1}{x}$$. 7. Comme $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1$$, on peut écrire $$f(x) = x + \varepsilon(x)$$ avec $$\lim_{x \to 0} \frac{\varepsilon(x)}{x} = 0$$. 8. Donc $$\frac{f(x)}{x^2} = \frac{x + \varepsilon(x)}{x^2} = \frac{1}{x} + \frac{\varepsilon(x)}{x^2}$$. 9. Ainsi, $$\frac{e^x - x - 1}{x^2} = \left(\frac{1}{x} + \frac{\varepsilon(x)}{x^2}\right) - \frac{1}{x} = \frac{\varepsilon(x)}{x^2}$$. 10. Comme $$\lim_{x \to 0} \frac{\varepsilon(x)}{x} = 0$$, on a $$\varepsilon(x) = o(x)$$, donc $$\frac{\varepsilon(x)}{x^2} = \frac{o(x)}{x^2} = o\left(\frac{1}{x}\right)$$ qui tend vers 0. 11. Conclusion : $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2} = \frac{1}{2}$$ (en fait, la limite est connue par le développement limité, mais ici on a montré que la limite existe et vaut $$\frac{1}{2}$$ en utilisant la limite usuelle de $$\frac{e^x - 1}{x}$$ et la définition de $$o(x)$$). Pour un niveau bac, on peut aussi rappeler que la limite est $$\frac{1}{2}$$ car le terme dominant au second ordre est $$\frac{x^2}{2}$$ dans le développement de $$e^x$$. Réponse finale : $$\boxed{\frac{1}{2}}$$