1. Énonçons le problème : Calculer la limite $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2}$$ en utilisant les limites usuelles. 2. Rappelons la série de Taylor de $e^x$ autour de 0 : $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$$ 3. Substituons cette expansion dans l'expression : $$\frac{e^x - x - 1}{x^2} = \frac{\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots\right) - x - 1}{x^2}$$ 4. Simplifions le numérateur : $$1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots - x - 1 = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$$ 5. Donc l'expression devient : $$\frac{\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots}{x^2} = \frac{x^2}{2x^2} + \frac{x^3}{6x^2} + \cdots = \frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \cdots$$ 6. En faisant tendre $x$ vers 0, les termes avec $x$ disparaissent, donc : $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2} = \frac{1}{2}$$ Réponse finale : $\boxed{\frac{1}{2}}$