1. Énonçons le problème : Calculer la limite $$\lim_{x \to -2} \frac{(2x + 4) \cdot 5x}{x^3 + 6x^2 + 11x + 6}$$ si elle est définie. 2. Rappelons que pour calculer une limite rationnelle, il est souvent utile de factoriser le numérateur et le dénominateur pour simplifier l'expression. 3. Factorisons le numérateur : $$2x + 4 = 2(x + 2)$$ Donc le numérateur devient : $$(2x + 4) \cdot 5x = 2(x + 2) \cdot 5x = 10x(x + 2)$$ 4. Factorisons le dénominateur $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$. Cherchons les racines rationnelles possibles parmi les diviseurs de 6 : $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$. Testons $x = -1$ : $$(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$$ Donc $x = -1$ est une racine, donc $(x + 1)$ est un facteur. 5. Divisons le polynôme par $(x + 1)$ : $$\frac{x^3 + 6x^2 + 11x + 6}{x + 1} = x^2 + 5x + 6$$ 6. Factorisons $x^2 + 5x + 6$ : $$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$$ 7. Donc le dénominateur factorisé est : $$(x + 1)(x + 2)(x + 3)$$ 8. L'expression devient : $$\frac{10x(x + 2)}{(x + 1)(x + 2)(x + 3)}$$ 9. Simplifions en annulant le facteur commun $(x + 2)$ : $$\frac{10x\cancel{(x + 2)}}{(x + 1)\cancel{(x + 2)}(x + 3)} = \frac{10x}{(x + 1)(x + 3)}$$ 10. Calculons la limite en $x \to -2$ : $$\lim_{x \to -2} \frac{10x}{(x + 1)(x + 3)} = \frac{10 \times (-2)}{(-2 + 1)(-2 + 3)} = \frac{-20}{(-1)(1)} = \frac{-20}{-1} = 20$$ Réponse finale : $$\boxed{20}$$