1. Énonçons le problème : Calculer la limite $$\lim_{n \to 1} \frac{n^n - 1}{n - 1}$$. 2. Cette expression est une forme indéterminée $$\frac{0}{0}$$ lorsque $n \to 1$, car $1^1 - 1 = 0$ et $1 - 1 = 0$. 3. Pour résoudre ce type de limite, on peut utiliser la règle de l'Hôpital qui dit que si $$\lim_{x \to a} f(x) = 0$$ et $$\lim_{x \to a} g(x) = 0$$, alors $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$, à condition que cette dernière limite existe. 4. Calculons les dérivées : - $f(n) = n^n$, donc $$f'(n) = n^n (\ln(n) + 1)$$ (car dérivée de $a^x$ avec $a=x$ variable). - $g(n) = n - 1$, donc $$g'(n) = 1$$. 5. Appliquons la règle de l'Hôpital : $$\lim_{n \to 1} \frac{n^n - 1}{n - 1} = \lim_{n \to 1} \frac{n^n (\ln(n) + 1)}{1} = 1^1 (\ln(1) + 1) = 1 \times (0 + 1) = 1$$. 6. Conclusion : La limite vaut 1. Réponse correcte : C) 1.