1. **Énoncé du problème :** Justifier que $$\sqrt{n^2 + \sin^2(n)} \geq n$$ pour tout entier naturel $$n$$, puis en déduire $$\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n^2 + \sin^2(n)} - n\right) = 0.$$ 2. **Formule et règles importantes :** On utilise la propriété que pour tout réel $$x$$, $$\sin^2(x) \geq 0$$, et la définition de la racine carrée qui est toujours positive ou nulle. 3. **Justification de l'inégalité :** Pour tout entier naturel $$n$$, $$\sqrt{n^2 + \sin^2(n)} \geq \sqrt{n^2} = n,$$ car $$\sin^2(n) \geq 0$$. 4. **Calcul de la limite :** On étudie $$\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n^2 + \sin^2(n)} - n\right).$$ 5. **Manipulation algébrique :** On multiplie et divise par le conjugué : $$\sqrt{n^2 + \sin^2(n)} - n = \frac{(\sqrt{n^2 + \sin^2(n)} - n)(\sqrt{n^2 + \sin^2(n)} + n)}{\sqrt{n^2 + \sin^2(n)} + n} = \frac{n^2 + \sin^2(n) - n^2}{\sqrt{n^2 + \sin^2(n)} + n} = \frac{\sin^2(n)}{\sqrt{n^2 + \sin^2(n)} + n}.$$ 6. **Simplification et limite :** On a $$\sqrt{n^2 + \sin^2(n)} + n \geq n + n = 2n,$$ donc $$0 \leq \frac{\sin^2(n)}{\sqrt{n^2 + \sin^2(n)} + n} \leq \frac{1}{2n}.$$ 7. **Conclusion par le théorème des gendarmes :** Comme $$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2n} = 0$$, on en déduit $$\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n^2 + \sin^2(n)} - n\right) = 0.$$