1. Énonçons le problème : Calculer la limite lorsque $x$ tend vers 0 de la fonction $$f(x) = \frac{\sqrt{x} + \sin(x)}{\ln(x)}.$$ 2. Observons que la fonction est définie pour $x > 0$ car $\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$. Nous cherchons donc $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x} + \sin(x)}{\ln(x)}.$$ 3. Rappelons les développements limités près de 0 : - $\sqrt{x} \sim x^{1/2}$ - $\sin(x) \sim x$ - $\ln(x) \to -\infty$ quand $x \to 0^+$ 4. Approximons le numérateur : $$\sqrt{x} + \sin(x) \sim x^{1/2} + x.$$ 5. Le dénominateur tend vers $-\infty$. 6. Pour mieux comprendre le comportement, écrivons la limite : $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^{1/2} + x}{\ln(x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{1/2}(1 + x^{1/2})}{\ln(x)}.$$ 7. Comme $x^{1/2} \to 0$ et $\ln(x) \to -\infty$, la forme est $\frac{0}{-\infty} = 0$. 8. Conclusion : $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x} + \sin(x)}{\ln(x)} = 0}.$$