1. **Énoncé du problème :** Montrer que si une suite est convergente, alors sa limite est unique. 2. **Formule et règles importantes :** Une suite $(u_n)$ converge vers une limite $L$ si pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - L| < \varepsilon$. 3. **Démonstration de l'unicité :** Supposons que la suite $(u_n)$ converge vers deux limites $L$ et $M$ avec $L \neq M$. Par définition, pour $\varepsilon = \frac{|L - M|}{3} > 0$, il existe $N_1$ tel que pour tout $n \geq N_1$, $|u_n - L| < \varepsilon$. De même, il existe $N_2$ tel que pour tout $n \geq N_2$, $|u_n - M| < \varepsilon$. Prenons $N = \max(N_1, N_2)$, alors pour tout $n \geq N$ : $$|L - M| = |L - u_n + u_n - M| \leq |L - u_n| + |u_n - M| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon = \frac{2|L - M|}{3}$$ Ce qui implique $|L - M| < \frac{2|L - M|}{3}$, une contradiction car $|L - M| > 0$. 4. **Conclusion :** La limite d'une suite convergente est unique. 1. **Énoncé du problème :** Montrer que si une suite est convergente, alors elle est bornée. 2. **Formule et règles importantes :** Une suite $(u_n)$ est bornée s'il existe un réel $M > 0$ tel que pour tout $n$, $|u_n| \leq M$. 3. **Démonstration :** Supposons que $(u_n)$ converge vers $L$. Par définition, pour $\varepsilon = 1$, il existe $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $|u_n - L| < 1$. Donc pour $n \geq N$, $|u_n| \leq |L| + 1$. Pour les indices $n < N$, il y a un nombre fini de termes $u_0, u_1, ..., u_{N-1}$. Posons $M = \max\{|u_0|, |u_1|, ..., |u_{N-1}|, |L| + 1\}$. Alors pour tout $n$, $|u_n| \leq M$, donc la suite est bornée. **Réponse finale :** - La limite d'une suite convergente est unique. - Toute suite convergente est bornée.