1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite de la fonction $f$ définie par $$f(x) = x + \frac{1}{2} - \ln x + \frac{1}{2} (\ln x)^2$$ lorsque $x$ tend vers $0^+$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour étudier la limite en $0^+$, on analyse le comportement des termes $x$, $\ln x$, et $(\ln x)^2$ quand $x \to 0^+$. 3. **Calcul de la limite :** - $x \to 0^+$ implique $x \to 0$. - $\ln x \to -\infty$ quand $x \to 0^+$. - $(\ln x)^2 \to +\infty$ car le carré d'une grande valeur négative est positif et grand. 4. **Étude du terme dominant :** Le terme $\frac{1}{2} (\ln x)^2$ domine car il tend vers $+\infty$ plus rapidement que $-\ln x$ tend vers $+\infty$. 5. **Conclusion sur la limite :** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$$ 6. **Interprétation géométrique :** La courbe $(C)$ de $f$ monte indéfiniment vers $+\infty$ quand $x$ approche $0$ par la droite, ce qui signifie une branche verticale asymptotique à l'axe $y$ en $x=0$.