1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite de la fonction $f(x) = x + \frac{1}{2} - \ln x + \frac{1}{2} (\ln x)^2$ quand $x$ tend vers 0, puis interpréter géométriquement. 2. **Formule et règles importantes :** Pour étudier la limite en 0 de $f(x)$, on analyse le comportement des termes $x$, $\ln x$, et $(\ln x)^2$ quand $x \to 0^+$. Rappel : $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$. 3. **Calcul de la limite :** - Le terme $x$ tend vers 0. - Le terme $\frac{1}{2}$ est constant. - Le terme $-\ln x$ tend vers $+\infty$ car $\ln x \to -\infty$. - Le terme $\frac{1}{2} (\ln x)^2$ tend vers $+\infty$ car $(\ln x)^2$ est positif et tend vers $+\infty$. Donc, $f(x) \approx -\ln x + \frac{1}{2} (\ln x)^2$ pour $x$ proche de 0. 4. **Dominance des termes :** Le terme dominant est $\frac{1}{2} (\ln x)^2$ qui tend vers $+\infty$ plus rapidement que $-\ln x$. 5. **Conclusion :** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$$ 6. **Interprétation géométrique :** La courbe $(C)$ de $f$ monte indéfiniment vers $+\infty$ quand $x$ approche 0 par la droite, ce qui signifie une branche verticale ascendante à gauche du graphe.