1. Énoncé du problème : On étudie la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $$f(x) = x + \frac{1 + \ln x}{x}.$$ 2. Limite de $f$ en 0 : Calculons $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(x + \frac{1 + \ln x}{x}\right)$. Observons chaque terme : $x \to 0$ et $\ln x \to -\infty$. Alors, $$\frac{1 + \ln x}{x} = \frac{\ln x}{x} + \frac{1}{x}.$$ Quand $x \to 0^+$, $\ln x \to -\infty$ plus lentement que $\frac{1}{x} \to +\infty$, donc dominé par $\frac{1}{x}$. Ainsi, $\frac{1 + \ln x}{x} \to +\infty$. Donc, $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty.$$ Graphiquement, cela signifie que la courbe $\mathcal{C}$ tend vers $+\infty$ verticalement lorsque $x$ approche 0 par la droite. 3. Limite de $f$ en $+\infty$ : Étudions $$\lim_{x \to +\infty} \left( x + \frac{1 + \ln x}{x} \right) = \lim_{x \to +\infty} x + \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} + \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}.$$ On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$. Donc, $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ 4. Justification de la droite $y = x$ comme asymptote : Considérons $$f(x) - x = \frac{1 + \ln x}{x}.$$ Calculons $$\lim_{x \to +\infty} \left(f(x) - x\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \ln x}{x} = 0.$$ Cette limite montre que $f(x)$ s'approche de $x$ lorsque $x \to +\infty$, donc la droite $y = x$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$. 5. Position de $\mathcal{C}$ par rapport à $D: y=x$ sur $]0; +\infty[$ : Étudions le signe de $$f(x) - x = \frac{1 + \ln x}{x}.$$ Comme $x > 0$, le signe de $f(x) - x$ est celui de $1 + \ln x$. Or, $1 + \ln x > 0 \iff \ln x > -1 \iff x > e^{-1}.$ Donc, - pour $0 < x < e^{-1}$, $f(x) - x < 0$, donc $f(x) < x$ $\Rightarrow$ $\mathcal{C}$ est en dessous de $D$. - pour $x > e^{-1}$, $f(x) - x > 0$, donc $f(x) > x$ $\Rightarrow$ $\mathcal{C}$ est au-dessus de $D$. 6. Intersection unique entre $\mathcal{C}$ et $D$ : Cherchons $x$ tel que $$f(x) = x \iff x + \frac{1 + \ln x}{x} = x \iff \frac{1 + \ln x}{x} = 0 \iff 1 + \ln x = 0.$$ Cela équivaut à $$\ln x = -1 \Rightarrow x = e^{-1}.$$ La courbe $\mathcal{C}$ et la droite $D$ se coupent en un seul point $A$ de coordonnées $$A = \left(e^{-1}, e^{-1}\right).$$ 7. Étude des variations de $f$ : Calculons la dérivée $$f'(x) = 1 + \frac{d}{dx} \left( \frac{1 + \ln x}{x} \right).$$ Calculons $$g(x) = \frac{1 + \ln x}{x}$$ Sa dérivée, par la formule du quotient, $$g'(x) = \frac{(\frac{1}{x}) \cdot x - (1 + \ln x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - 1 - \ln x}{x^2} = -\frac{\ln x}{x^2}.$$ Donc, $$f'(x) = 1 + g'(x) = 1 - \frac{\ln x}{x^2}.$$ Étudions le signe de $f'(x)$ : - $x^2 > 0$ pour $x > 0$. - Signe de $f'(x)$ dépend de $h(x) = 1 - \frac{\ln x}{x^2}$. Déterminons les variations de $h(x)$ : c'est une expression plus complexe, mais analysons le signe de $f'(x)$ autrement : Remarquons que $$f'(x) = 1 - \frac{\ln x}{x^2}.$$ Posons $$f'(x) \geq 0 \iff 1 \geq \frac{\ln x}{x^2}.$$ Sur $]0; +\infty[$, $x^2$ est positif, alors le comportement dépend de $\ln x$. - Pour $x \in (0,1)$, $\ln x < 0$, donc $\frac{\ln x}{x^2} < 0$ et donc $$f'(x) = 1 - \frac{\ln x}{x^2} > 1 > 0.$$ Donc $f$ est croissante sur $(0,1)$. - Pour $x > 1$, $\ln x > 0$, donc $$f'(x) = 1 - \frac{\ln x}{x^2}.$$ Étudions la fonction auxiliaire $$m(x) = \frac{\ln x}{x^2}.$$ Elle tend vers 0 quand $x \to +\infty$ car logarithme croit lentement par rapport à $x^2$. Cherchons où $f'(x) = 0$ : $$1 = \frac{\ln x}{x^2} \Rightarrow \ln x = x^2.$$ Cette équation est transcendante, mais on peut analyser la dérivée de $m(x)$ pour trouver les points critiques. En résumé, $f'(x) > 0$ sur $(0, +\infty)$ sauf peut-être à proximité d'une valeur où $\ln x = x^2$ proche de 0 mais cela n'a pas lieu pour $x>1$ car $x^2$ croît plus vite que $\ln x$ donc $\ln x < x^2$ pour tout $x > 1$ (à vérifier). Vérification numérique rapide : - Pour $x=2$, $\ln 2 \approx 0.693 < 4 = 2^2$, donc $f'(2) > 0$. - Pour $x=10$, $\ln 10 \approx 2.3 < 100$, donc $f'(10) > 0$. Donc, $f'(x) > 0$ sur $]0; +\infty[$. Conclusion : La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$. --- Réponses finales : - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$, donc la courbe tend vers $+\infty$ verticalement au voisinage de 0. - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. - La droite $y = x$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$. - La courbe est en dessous de la droite pour $x \in ]0, e^{-1}[$, au-dessus pour $x > e^{-1}$. - L'intersection unique de $\mathcal{C}$ et $D$ est $A(e^{-1}, e^{-1})$. - La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.