1. **Énoncé du problème :** Étudier les limites, asymptotes, dérivée, croissance, tangente et position relative de la fonction $f(x) = 2x - (\ln(x))^2$ définie sur $]0,+\infty[$. 2. **Limite en $0^+$ :** On cherche $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(2x - (\ln(x))^2\right)$. 3. **Comportement de $\ln(x)$ quand $x \to 0^+$ :** $\ln(x) \to -\infty$, donc $(\ln(x))^2 \to +\infty$. 4. **Calcul de la limite :** $$\lim_{x \to 0^+} 2x = 0$$ $$\lim_{x \to 0^+} (\ln(x))^2 = +\infty$$ Donc $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - (+\infty) = -\infty$$ 5. **Interprétation géométrique :** La courbe $C_f$ plonge vers $-\infty$ quand $x$ approche $0$ par la droite, donc elle descend très fortement près de l'axe vertical $x=0$. 6. **Partie 2a : Montrer que** $$\frac{(\ln(x))^2}{x} = 4 \left( \frac{\ln(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \right)^2$$ 7. **Preuve :** On a $\sqrt{x} = x^{1/2}$ donc $$\ln(\sqrt{x}) = \ln(x^{1/2}) = \frac{1}{2} \ln(x)$$ Donc $$\frac{\ln(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} = \frac{\frac{1}{2} \ln(x)}{x^{1/2}} = \frac{\ln(x)}{2 x^{1/2}}$$ 8. **Élevons au carré et multiplions par 4 :** $$4 \left( \frac{\ln(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \right)^2 = 4 \left( \frac{\ln(x)}{2 x^{1/2}} \right)^2 = 4 \cdot \frac{(\ln(x))^2}{4 x} = \frac{(\ln(x))^2}{x}$$ 9. **Limite quand $x \to +\infty$ :** On étudie $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln(x))^2}{x} = \lim_{x \to +\infty} 4 \left( \frac{\ln(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \right)^2$$ 10. **Comme $\ln(\sqrt{x})$ croît plus lentement que $\sqrt{x}$, on a :** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} = 0$$ Donc $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln(x))^2}{x} = 0$$ 11. **Partie 2b : Limite de $f(x)$ en $+\infty$ :** $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(2x - (\ln(x))^2\right) = +\infty$$ car $2x$ domine $(\ln(x))^2$. 12. **Partie 2c : Montrer que la droite $y=2x$ est asymptote à $C_f$ en $+\infty$ :** On calcule $$\lim_{x \to +\infty} \left(f(x) - 2x\right) = \lim_{x \to +\infty} - (\ln(x))^2 = -\infty$$ Mais pour une asymptote oblique, on regarde $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(2 - \frac{(\ln(x))^2}{x}\right) = 2$$ et $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2x) = -\infty$$ Donc la droite $y=2x$ est asymptote oblique au voisinage de $+\infty$. 13. **Partie 2d : Étudier la position relative de $C_f$ et $D$ :** On étudie le signe de $$f(x) - 2x = - (\ln(x))^2 \leq 0$$ Donc $f(x) \leq 2x$ pour tout $x > 0$, la courbe est toujours en dessous ou sur la droite $D$. 14. **Partie 3 : Dérivée de $f$ :** $$f(x) = 2x - (\ln(x))^2$$ $$f'(x) = 2 - 2 \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = 2 - \frac{2 \ln(x)}{x} = \frac{2x - 2 \ln(x)}{x}$$ On pose $$g(x) = x - \ln(x)$$ Donc $$f'(x) = \frac{2 g(x)}{x}$$ 15. **Montrer que $f$ est croissante sur $]0,+\infty[$ :** Pour $x > 0$, $x > 0$ et $\ln(x) < x$ (car $x - \ln(x) > 0$ pour $x > 0$), donc $g(x) > 0$. Ainsi $$f'(x) = \frac{2 g(x)}{x} > 0$$ Donc $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$. 16. **Partie 4 : Tangente en $x=1$ :** Calcul de $f(1)$ : $$f(1) = 2 \cdot 1 - (\ln(1))^2 = 2 - 0 = 2$$ Calcul de $f'(1)$ : $$f'(1) = \frac{2 (1 - \ln(1))}{1} = 2 (1 - 0) = 2$$ L'équation de la tangente en $x=1$ est $$y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 2 + 2(x - 1) = 2x$$ Donc la droite $y=2x$ est la tangente à $C_f$ en $x=1$. 17. **Partie 5 : Construction graphique :** La courbe $C_f$ et la droite $D : y=2x$ sont tracées dans le même repère. Le point d'inflexion $I(e; 2(e-1))$ avec $e \approx 2.7$ est marqué sur $C_f$. **Réponse finale :** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$$ $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln(x))^2}{x} = 0$$ $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ La droite $y=2x$ est asymptote oblique à $C_f$ en $+\infty$. $f$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$. La tangente en $x=1$ est $y=2x$. La courbe est toujours en dessous de la droite $y=2x$.