**Exercice 4** 1) Trouver deux constantes $m$ et $M$ telles que : $$ m \leq \frac{1}{2 - \sin x} \leq M $$ - La fonction $\sin x$ varie entre $-1$ et $1$. - Donc, $2 - \sin x$ varie entre $2 - 1 = 1$ et $2 - (-1) = 3$. - Ainsi, le minimum de $2 - \sin x$ est $1$ et le maximum est $3$. - Puisque la fonction $f(x) = \frac{1}{2 - \sin x}$ est décroissante en fonction de $2-\sin x$, les bornes sont inversées : - Minimum de $f(x)$ est $\frac{1}{3}$, - Maximum de $f(x)$ est $\frac{1}{1} = 1$. Donc, $$ m = \frac{1}{3} \leq \frac{1}{2 - \sin x} \leq 1 = M. $$ 2) Étudier le comportement en $+\infty$ des fonctions $$ f(x) = \frac{x}{2 - \sin x} \quad \text{et} \quad g(x) = \frac{x + \sin x}{2 - \sin x} .$$ - Sachant que $\frac{1}{2 - \sin x}$ est compris entre $\frac{1}{3}$ et $1$, pour le comportement quand $x \to +\infty$ : 1. Pour $f(x)$, $$ \frac{x}{2 - \sin x} = x \cdot \frac{1}{2 - \sin x} \sim x \cdot c $$ avec $c$ une constante entre $\frac{1}{3}$ et $1$. Ainsi, $f(x) \to +\infty$ quand $x \to +\infty$. 2. Pour $g(x)$, $$ \frac{x + \sin x}{2 - \sin x} = \frac{x}{2 - \sin x} + \frac{\sin x}{2 - \sin x}. $$ - Le terme $\frac{x}{2 - \sin x}$ comme vu tend vers $+\infty$. - Le terme $\frac{\sin x}{2 - \sin x}$ est borné (car numérateur borné entre $-1$ et $1$, dénominateur entre $1$ et $3$). Donc, $$ g(x) \sim f(x) \to +\infty \quad \text{quand } x \to +\infty. $$ --- **Exercice 5** Calcul des limites : a) $$ \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3} $$ - On remarque que $x + 6$ tend vers $9$ quand $x \to 3$, racine tend vers $3$. - C'est une forme indéterminée $\frac{0}{0}$. - On rationalise le numérateur: \[ \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3} \cdot \frac{\sqrt{x + 6} + 3}{\sqrt{x + 6} + 3} = \frac{x + 6 - 9}{(x - 3)(\sqrt{x + 6} + 3)} = \frac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x + 6} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{x + 6} + 3}. \] - En remplaçant $x = 3$ : $$ \lim = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}. $$ b) $$ \lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{2x - 4}}{\sqrt{x + 1} - 3} $$ - Remplaçons $x = 8$: numérateur $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, dénominateur $\sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0$, forme indéterminée. - Rationalisons le dénominateur: \[ \frac{\sqrt{2x - 4}}{\sqrt{x + 1} - 3} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} + 3}{\sqrt{x + 1} + 3} = \frac{\sqrt{2x - 4}(\sqrt{x + 1} + 3)}{x + 1 - 9} = \frac{\sqrt{2x - 4}(\sqrt{x + 1} + 3)}{x - 8}. \] - On obtient forme indéterminée car $x-8$ au dénominateur. - Posons $h = x - 8$, alors pour $h \to 0$ : $\sqrt{2(8+h)-4} = \sqrt{16 + 2h -4} = \sqrt{12 + 2h} = \sqrt{12} + \frac{2h}{2 \sqrt{12}} + o(h) = 2\sqrt{3} + \frac{h}{2\sqrt{3}} + o(h)$. $\sqrt{(8+h) + 1} + 3 = \sqrt{9 + h} + 3 = 3 + \frac{h}{6} + 3 + o(h) = 6 + \frac{h}{6} + o(h)$. - Donc numérateur approximé: $$ (2\sqrt{3} + \frac{h}{2\sqrt{3}})(6 + \frac{h}{6}) = 12\sqrt{3} + \text{termes en } h + o(h). $$ - Le dénominateur est $h$. - La limite est donc la limite du ratio au premier ordre: $$ \lim_{h \to 0} \frac{12\sqrt{3} + o(1)}{h} = +\infty $$ - En fait on doit refaire l'approche avec dérivées (ou appliquer règle de l'Hôpital) : - Dérivée du numérateur $u(x) = \sqrt{2x - 4}$ $$ u'(x) = \frac{2}{2 \sqrt{2x - 4}} = \frac{1}{\sqrt{2x - 4}}. $$ - Dérivée du dénominateur $v(x) = \sqrt{x + 1} - 3$ $$ v'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}. $$ - À $x = 8$, $u(8) = 2\sqrt{3}$, $v(8) = 0$, - Appliquons règle de l'Hôpital: $$ \lim_{x \to 8} \frac{u(x)}{v(x)} = \lim_{x \to 8} \frac{u'(x)}{v'(x)} = \frac{\frac{1}{\sqrt{12}}}{\frac{1}{2 \sqrt{9}}} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{3}}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \times 6 = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}. $$ c) $$ \lim_{x \to 58} \frac{(2x + 5)^2 - 121^2}{x - 58} $$ - $(2x + 5)^2 - 121^2$ est une différence de carrés: $$ (2x + 5 - 121)(2x + 5 + 121) = (2x - 116)(2x + 126). $$ - En évaluant en $x = 58$, on a facteur $x - 58$ dans le dénominateur. - Remarquons que $2(58) + 5 = 121$, donc la première parenthèse s'annule à $58$. - Posons $h = x - 58$, alors: $$ 2x - 116 = 2(x - 58) = 2h, $$ $$ 2x + 126 = 2(58 + h) + 126 = 116 + 2h + 126 = 242 + 2h. $$ - Expression: $$ \frac{(2x + 5)^2 - 121^2}{x - 58} = \frac{2h (242 + 2h)}{h} = 2 (242 + 2h) = 484 + 4h. $$ - Limite quand $h \to 0$: $$ 484. $$ d) $$ \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 6}{x - 3} $$ - Substitution directe donne $\frac{3 - 6}{0} = \frac{-3}{0}$ forme indéterminée? - Non, racine de $(3 + 6) = 3$, donc $3 - 6 = -3$, pas une indétermination, le dénominateur tend vers 0 : la limite est infinie. - Plus précis, racine est toujours positive, donc le numérateur tend vers $-3$ solide, dénominateur tend vers $0$. - On étudie limites latérales: - Pour $x \to 3^+$, $x-3 > 0$, numérateur proche de $-3$, donc limite $-\infty$. - Pour $x \to 3^-$, $x-3 < 0$, limite $+\infty$. Donc limite n'existe pas mais situation: $$ \lim_{x \to 3^+} = -\infty, \quad \lim_{x \to 3^-} = +\infty. $$ e) $$ \lim_{x \to \pi} \frac{\cos x}{x - \pi} $$ - En $x = \pi$, $\cos \pi = -1$, dénominateur tend vers $0$. - Limites latérales: - $x \to \pi^+$, $x - \pi > 0$, quotient tend vers $\frac{-1}{+0} = -\infty$. - $x \to \pi^-$, $x - \pi < 0$, quotient tend vers $\frac{-1}{-0} = +\infty$. Pas de limite finie. f) $$ \lim_{x \to -\frac{\pi}{3}} \frac{\sin 3x}{3x + \pi} $$ - Posons $t = 3x + \pi$. - Quand $x \to -\frac{\pi}{3}$, alors $3x \to -\pi$, donc $t \to 0$. - Expression devient $$ \frac{\sin 3x}{t} = \frac{\sin(t - \pi)}{t} = \frac{- \sin t}{t} $$ car $\sin(t - \pi) = - \sin t$. - Limite $$ \lim_{t \to 0} \frac{-\sin t}{t} = -1. $$ --- **Exercice 6** Soit $f(x) = ax + b - \sqrt{x^2 + 1}$. 1) Étudier la limite de $f$ en $-\infty$ selon les valeurs de $a$. - Pour $x \to -\infty$, $\sqrt{x^2 + 1} = |x| \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \sim |x| = -x$ car $x$ est négatif. - Donc, $$ f(x) \sim ax + b - (-x) = ax + b + x = (a + 1) x + b. $$ - Le comportement dépend de $a + 1$ : - Si $a + 1 > 0$, alors $(a + 1)x \to -\infty$ car $x \to -\infty$. - Si $a + 1 = 0$, alors $f(x) \to b$. - Si $a + 1 < 0$, alors $(a + 1)x \to +\infty$ quand $x \to -\infty$. 2) Trouver $a, b$ pour que la droite $2x - y + 2 = 0$ soit asymptote à la courbe de $f$ en $-\infty$. - Réécrivons la droite : $$ y = 2x + 2. $$ - Pour une droite asymptote, on veut $$ f(x) - (2x + 2) \to 0 \quad \text{quand } x \to -\infty. $$ - Or, $$ f(x) - (2x + 2) = ax + b - \sqrt{x^2 + 1} - 2x - 2 = (a - 2) x + (b - 2) - \sqrt{x^2 + 1}. $$ - Comme précédemment, $\sqrt{x^2 + 1} \sim -x$ pour $x \to -\infty$. - Donc: $$ f(x) - (2x + 2) \sim (a - 2) x + (b - 2) - (-x) = (a - 2 + 1) x + (b - 2) = (a - 1) x + (b - 2). $$ - Pour que la limite soit finie (en particulier $0$), il faut que le coefficient de $x$ soit $0$: $$ a - 1 = 0 \implies a = 1. $$ - Ensuite, la constante doit être également nulle: $$ b - 2 = 0 \implies b = 2. $$ Donc, $$ a=1, \quad b=2. $$ --- **Résumé :** - Exercice 4 : $m=\frac{1}{3}, M=1$, croissance vers $+\infty$. - Exercice 5 : limites calculées (a) $\frac{1}{6}$, (b) $\sqrt{3}$, (c) 484, (d) pas de limite finie, (e) pas de limite finie, (f) $-1$. - Exercice 6 : limite selon $a$, asymptote droite nécessite $a=1, b=2$.