1. Calculer les limites à +\infty et -\infty pour chaque fonction donnée. **a)** $f(x) = \frac{3x^2 - 5x + 2}{2x^2 - x + 1}$ - Pour les limites à l'infini, on compare les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur. - Ici, les termes dominants sont $3x^2$ au numérateur et $2x^2$ au dénominateur. - La limite est donc le rapport des coefficients de ces termes dominants. $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2 - 5x + 2}{2x^2 - x + 1} = \frac{3}{2}$$ **b)** $f(x) = \frac{4x^3 - 5x + 2}{x - 3}$ - Le terme dominant au numérateur est $4x^3$, au dénominateur $x$. - Pour $x \to +\infty$, la limite est $\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3}{x} = \lim_{x \to +\infty} 4x^2 = +\infty$. - Pour $x \to -\infty$, la limite est $\lim_{x \to -\infty} 4x^2 = +\infty$. **c)** $f(x) = \frac{2x^8 - 3x + 2}{3x^2 - 3x + 1}$ - Terme dominant numérateur: $2x^8$, dénominateur: $3x^2$. - Limite à l'infini: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^8 - 3x + 2}{3x^2 - 3x + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^8}{3x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{3} x^{6}$$ - Comme $x^6 \to +\infty$ pour $x \to \pm\infty$, la limite est $+\infty$. 2. Calculer les limites suivantes: **a)** $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x + 5} - 3}{x - 4}$ - On remarque une forme indéterminée $\frac{0}{0}$. - On rationalise le numérateur: $$\frac{\sqrt{x + 5} - 3}{x - 4} \times \frac{\sqrt{x + 5} + 3}{\sqrt{x + 5} + 3} = \frac{(x + 5) - 9}{(x - 4)(\sqrt{x + 5} + 3)} = \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x + 5} + 3)}$$ - On simplifie en annulant $x - 4$: $$\frac{\cancel{x - 4}}{\cancel{x - 4}(\sqrt{x + 5} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{x + 5} + 3}$$ - En remplaçant $x$ par 4: $$\lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{4 + 5} + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$$ **b)** $\lim_{x \to 1} \frac{7x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 2x - 4}{x^8 - 1}$ - On a une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ en $x=1$. - Factoriser le dénominateur: $$x^8 - 1 = (x - 1)(x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$$ - Factoriser le numérateur par division polynomiale ou tester $x=1$: Calculons $P(1) = 7 - 3 + 2 - 2 - 4 = 0$, donc $(x - 1)$ est un facteur. - Divisons le numérateur par $(x - 1)$: $$\frac{7x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 2x - 4}{x - 1} = 7x^3 + 4x^2 + 6x + 4$$ - La limite devient: $$\lim_{x \to 1} \frac{7x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 2x - 4}{(x - 1)(x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(7x^3 + 4x^2 + 6x + 4)}{(x - 1)(x^7 + \cdots + 1)}$$ - Simplifions: $$\frac{\cancel{x - 1}(7x^3 + 4x^2 + 6x + 4)}{\cancel{x - 1}(x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)} = \frac{7x^3 + 4x^2 + 6x + 4}{x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}$$ - En remplaçant $x=1$: $$\frac{7 + 4 + 6 + 4}{1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1} = \frac{21}{8}$$ **Réponses finales:** 1a) $\frac{3}{2}$ 1b) $+\infty$ 1c) $+\infty$ 2a) $\frac{1}{6}$ 2b) $\frac{21}{8}$