1. **Énoncé** : Déterminer les limites éventuelles en 0 des fonctions données dans l'exercice 1.\n 2. **Exercice 1a** : $f(x) = \frac{3x}{\sin(5x)}$\n - On utilise la limite classique $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1$.\n- Donc $\sin(5x) \sim 5x$ quand $x \to 0$.\n- Ainsi, $f(x) \sim \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$.\n- La limite est donc $\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{3}{5}$.\n 3. **Exercice 1b** : $f(x) = \frac{\sin x + \sin (2x)}{\sin x - \sin x}$. Ici, probablement erreur d'énoncé; considérons $\sin x - \sin(1x) = \sin x - \sin x = 0$ identiquement, ce qui est impossible. Supposons $f(x) = \frac{\sin x + \sin (2x)}{\sin x - \sin (3x)}$ pour un sens.\n - Pour $x \to 0$, on approxime $\sin kx \sim kx$.\n- Numérateur $\sim x + 2x = 3x$, dénominateur $\sim x - 3x = -2x$.\n- Donc $f(x) \sim \frac{3x}{-2x} = -\frac{3}{2}$.\n- Limite : $-\frac{3}{2}$.\n 4. **Exercice 1c** : $f(x) = \frac{\tan(4x)}{\tan(3x)}$\n - Avec $\tan(kx) \sim kx$ quand $x \to 0$.\n- Donc $f(x) \sim \frac{4x}{3x} = \frac{4}{3}$.\n- Limite est $\frac{4}{3}$.\n 5. **Exercice 2 (a à f)** : Calcul des limites à l'infini et en 0, en utilisant approximations, factorisations et identités trigonométriques.\n - 2a : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \cos x}{\sin 4x}$\n\quad~$\sin x \sim x$, $\cos x \sim 1 - \frac{x^2}{2}$ donc $\sin x - \cos x \sim x -1 + \frac{x^2}{2}$.\n\quad~Au premier ordre, numérateur $\sim x - 1$, tend vers $-1$. Dénominateur $\sin4x \sim 4x$. Donc \lim n'existe pas car $\frac{-1}{0}$. Limitée à $\pm \infty$.\n - 2b : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x + \sqrt{x} \cos x}{-\sin(2x) + \sqrt{3} \cos (2x)}$.\n\quad~Numérateur et dénominateur oscillent à cause de sinus et cosinus non bornés combinés à racine de x qui croît. La limite n'existe pas, la fonction oscille avec amplitude croissante.\n - 2c : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+1} + 3x}{x} = \lim \left( \frac{\sqrt{x+1}}{x} + 3 \right)$.\n\quad~$\frac{\sqrt{x+1}}{x} = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}{\sqrt{x}} \to 0$.\n\quad~Donc limite $= 3$.\n - 2d : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+5} - x}{\sqrt{x^2 - x}}$.\n\quad~$\sqrt{x+5} \sim \sqrt{x}$ qui est $o(x)$.\n\quad~Le numérateur $\sim -x + o(x)$, dénominateur $\sim x$, donc limite $\sim \frac{-x}{x} = -1$.\n - 2e : $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 4x + 3} - x)$.\n\quad~Factoriser racine : $\sqrt{x^2 + 4x + 3} = x\sqrt{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}}$ \sim $x \left( 1 + \frac{2}{x} - \frac{2^2}{2x^2} \right) = x + 2 - \frac{2}{x}$.\n\quad~Donc $\sqrt{x^2 + 4x + 3} - x \to 2$.\n - 2f : $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 4x + 3} + 2x + 1)$.\n\quad~Avec la même approximation, $= (x + 2 - \frac{2}{x}) + 2x + 1 = 3x + 3 - \frac{2}{x} \to +\infty$.\n 6. **Exercice 3 (comportement en +∞)**\n - a) $f(x) = x^2 - 2 \sin x$.\n\quad~$\sin x$ est bornée entre $-1$ et $1$, donc $-2 \sin x$ est bornée entre $-2$ et $2$.\n\quad~Donc $f(x) \sim x^2$ quand $x \to +\infty$, la fonction diverge vers $+\infty$.\n - b) $f(x) = \frac{2x \sin x}{x} = 2 \sin x$.\n\quad~Limite n'existe pas car oscillation entre $-2$ et $2$.\n - c) $f(x) = \frac{e^{x/x}}{1 - x} = \frac{e^1}{1 - x} = \frac{e}{1 - x}$.\n\quad~Lorsque $x \to +\infty$, $1-x \to -\infty$, donc $f(x) \to 0^-$ (car $e$ est positif).\n - d) $f(x) = \frac{e^x}{x + 2}$. Au numérateur $e^x$ croît exponentiellement, au dénominateur linéairement.\n\quad~Donc $f(x) \to +\infty$.\n 7. **Exercice 4**\n - 1) Trouver constantes $m$ et $M$ telles que $m \leq \frac{x}{2 - \sin x} \leq M$ pour tout réel $x$.\n\quad~$\sin x \in [-1,1]$, donc $2 - \sin x \in [1,3]$.\n\quad~Alors $\frac{x}{3} \leq \frac{x}{2 - \sin x} \leq \frac{x}{1}$ si $x \geq 0$, sinon inverser inégalités pour $x < 0$.\n\quad~Donc pour tout réel $x$, on peut écrire $\min\left(\frac{x}{1}, \frac{x}{3}\right) \leq \frac{x}{2 - \sin x} \leq \max\left(\frac{x}{1}, \frac{x}{3}\right)$.\n - 2) Comportement en $+\infty$ : $f(x) = \frac{x}{2 - \sin x}$ a un comportement asymptotique proche de $\frac{x}{c}$ avec $c \in [1,3]$, donc croît indéfiniment.\n\nPour $g(x) = \frac{x \sin x}{2 - \sin x}$, comme $\sin x$ est bornée, $g(x)$ oscille entre valeurs bornées multiples de $x$, donc pas de limite finie, oscillations infinies mais croissance modérée.\n 8. **Exercice 5 (a à f)** Limites usuelles :\n- 5a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{5x - 1}}{x^{2/3}} \sim \frac{\sqrt{5x}}{x^{2/3}} = \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{x^{2/3}} = \sqrt{5} x^{1/2 - 2/3} = \sqrt{5} x^{-1/6} \to 0$.\n - 5b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 9}{x^2 - 3}$.\n\quad~Calcul direct impossible car $1^2 - 3 = -2 \neq 0$.\n\quad~Calcul: $\frac{1 - 9}{1 - 3} = \frac{-8}{-2} = 4$.\n - 5c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{(2x + 5)^2 - 12x^2}{x - 1}$\n\quad~Développons $(2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25$.\n\quad~Numérateur $= 4x^2 + 20x + 25 - 12x^2 = -8x^2 + 20x + 25$.\n\quad~Dénominateur $\sim x$.\n\quad~Limite $\sim \lim_{x \to +\infty} \frac{-8x^2}{x} = -\infty$.\n - 5d) $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^3 - 27}$.\n\quad~Factorisation $x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$.\n\quad~Simplification: $\frac{1}{x^2 + 3x + 9}$.\n\quad~Évaluation en 3: $\frac{1}{9 + 9 + 9} = \frac{1}{27}$.\n - 5e) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 3x}{x - 2}$.\n\quad~Diviser numérateur et dénominateur par $x$:\n\quad~$\frac{x - 3}{1 - \frac{2}{x}} \to +\infty$ comme $x \to +\infty$.\n - 5f) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x - 2x^2}{3x + 1}$.\n\quad~Diviser par $x$:\n\quad~$\frac{3 - 2x}{3 + \frac{1}{x}} \to -\infty$.\n 9. **Exercice 6**\n - 1) Étudier la limite de $f(x) = ax + b - \sqrt{x^2 + 1}$ en $-\infty$.\n\quad~Lorsque $x \to -\infty$, $\sqrt{x^2 + 1} = |x|\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = -x (1 + \frac{1}{2x^2} + \cdots) = -x + o(1)$.\n\quad~Donc $f(x) \sim ax + b - (-x) = (a + 1)x + b$.\n\quad~Si $a + 1 > 0$, alors $f(x) \to -\infty$ car $x \to -\infty$.\n\quad~Si $a + 1 < 0$, alors $f(x) \to +\infty$.\n\quad~Si $a = -1$, alors $f(x) \to b$ constante.\n - 2) Déterminer $a$, $b$ pour que la droite $2x - y + 2 = 0$ soit asymptote en $-\infty$.\n\quad~La droite s'écrit $y = 2x + 2$.\n\quad~La fonction $f$ doit satisfaire $f(x) \sim 2x + 2$ quand $x \to -\infty$.\n\quad~Or $f(x) \sim (a + 1)x + b$.\n\quad~Identification donne $a + 1 = 2 \Rightarrow a = 1$, et $b = 2$.\n **Résumé final** :\n- Limites Ex1 : a) $\frac{3}{5}$, b) $-\frac{3}{2}$ (hypothèse), c) $\frac{4}{3}$.\n- Limites Ex2 et suite détaillées ci-dessus.\n- Asymptote Ex6 et condition $a =1$, $b=2$.