1. **Énoncé du problème :** Nous avons la fonction $h$ définie sur $]0; +\infty[$ par $h(x) = x^3 - 1 + \ln x$. Nous devons calculer les limites de $h$ en 0 et en $+\infty$. 2. **Calcul des limites :** - Limite en 0 : $$\lim_{x \to 0^+} h(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^3 - 1 + \ln x) = \lim_{x \to 0^+} x^3 - 1 + \lim_{x \to 0^+} \ln x = 0 - 1 + (-\infty) = -\infty$$ - Limite en $+\infty$ : $$\lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty} (x^3 - 1 + \ln x) = +\infty - 1 + +\infty = +\infty$$ 3. **Dérivée de $h$ :** Calculons $h'(x)$ : $$h'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 1 + \ln x) = 3x^2 + \frac{1}{x}$$ 4. **Étude du signe de $h'(x)$ :** Pour $x > 0$, $3x^2 > 0$ et $\frac{1}{x} > 0$, donc $$h'(x) = 3x^2 + \frac{1}{x} > 0$$ 5. **Sens de variation de $h$ :** Puisque $h'(x) > 0$ pour tout $x > 0$, $h$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$. 6. **Calcul de $h(1)$ :** $$h(1) = 1^3 - 1 + \ln 1 = 1 - 1 + 0 = 0$$ 7. **Conclusion sur le signe de $h(x)$ :** - Pour $x \in ]0;1[$, comme $h$ est croissante et $h(1) = 0$, on a $h(x) < 0$. - Pour $x \in ]1; +\infty[$, $h(x) > 0$. **Réponse finale :** - $\lim_{x \to 0^+} h(x) = -\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty$ - $h'(x) = 3x^2 + \frac{1}{x} > 0$ donc $h$ est strictement croissante - $h(1) = 0$ - $\forall x \in ]0;1[, h(x) < 0$ et $\forall x \in ]1; +\infty[, h(x) > 0$