1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f_n(x) = \frac{x}{n} - e^{-nx}$ avec $n \geq 2$ entier naturel. 2. **Calcul des limites :** - Pour $x \to +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x}{n} - e^{-nx}\right) = +\infty$ car $\frac{x}{n} \to +\infty$ et $e^{-nx} \to 0$. - Pour $x \to 0^+$, $\lim_{x \to 0^+} f_n(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{n} - e^{-nx}\right) = 0 - 1 = -1$. 3. **Branches infinies :** La fonction tend vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$ et vers $-1$ quand $x \to 0^+$, donc la courbe a une branche infinie verticale asymptotique à $y = -1$ près de $x=0$ et une branche infinie qui monte vers $+\infty$ à droite. 4. **Dérivée de $f_n$ :** $$f_n'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{n} - e^{-nx}\right) = \frac{1}{n} - (-n)e^{-nx} = \frac{1}{n} + n e^{-nx}$$ 5. **Étude du signe de $f_n'(x)$ :** Comme $n \geq 2$ et $e^{-nx} > 0$ pour tout $x$, on a $f_n'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc $f_n$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 6. **Existence et unicité de la solution $\alpha_n$ de $f_n(x) = 0$ :** - $f_n$ est continue et strictement croissante. - $f_n(0) = -1 < 0$ et $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $\alpha_n > 0$ telle que $f_n(\alpha_n) = 0$. 7. **Calcul de $f_n(\frac{1}{n})$ :** $$f_n\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1/n}{n} - e^{-n \cdot \frac{1}{n}} = \frac{1}{n^2} - e^{-1}$$ Or $e^{-1} \approx 0.3679$ et $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{4}$ pour $n \geq 2$, donc $$f_n\left(\frac{1}{n}\right) < 0$$ 8. **Inégalité $e^x \geq x + 1$ :** C'est une inégalité classique démontrée par le développement de Taylor ou la convexité de l'exponentielle. 9. **Calcul de $f_n(1)$ :** $$f_n(1) = \frac{1}{n} - e^{-n}$$ Comme $e^{-n} < 1$ et $\frac{1}{n} > 0$, on a $$f_n(1) > 0$$ 10. **Encadrement de $\alpha_n$ :** Puisque $f_n$ est croissante, $f_n(\frac{1}{n}) < 0 < f_n(1)$, donc $$\frac{1}{n} < \alpha_n < 1$$ **Réponse finale :** - $\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to 0^+} f_n(x) = -1$ - $f_n$ est strictement croissante - L'équation $f_n(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha_n$ avec $\frac{1}{n} < \alpha_n < 1$