1. Calculer les limites suivantes : **a.** Calculer $\lim_{n \to +\infty} 5^n$. - La base 5 est strictement supérieure à 1. - Donc, $5^n$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$. **Réponse :** $\lim_{n \to +\infty} 5^n = +\infty$. **b.** Calculer $\lim_{n \to +\infty} \left(-\frac{5}{9}\right)^n$. - La valeur absolue de la base est $\left| -\frac{5}{9} \right| = \frac{5}{9} < 1$. - Une puissance d'un nombre dont la valeur absolue est inférieure à 1 tend vers 0. - Le signe alterne, mais la limite est 0. **Réponse :** $\lim_{n \to +\infty} \left(-\frac{5}{9}\right)^n = 0$. **c.** Calculer $\lim_{n \to +\infty} \frac{4^n}{7^n}$. - On peut écrire $\frac{4^n}{7^n} = \left(\frac{4}{7}\right)^n$. - Comme $\frac{4}{7} < 1$, la puissance tend vers 0. **Réponse :** $\lim_{n \to +\infty} \frac{4^n}{7^n} = 0$. **d.** Calculer $\lim_{n \to +\infty} \frac{3^n + 8^n}{7^n}$. - On divise numérateur et dénominateur par $7^n$ : $$\frac{3^n + 8^n}{7^n} = \frac{3^n}{7^n} + \frac{8^n}{7^n} = \left(\frac{3}{7}\right)^n + \left(\frac{8}{7}\right)^n$$ - $\left(\frac{3}{7}\right)^n \to 0$ car $\frac{3}{7} < 1$. - $\left(\frac{8}{7}\right)^n \to +\infty$ car $\frac{8}{7} > 1$. - Donc la limite est $+\infty$. **Réponse :** $\lim_{n \to +\infty} \frac{3^n + 8^n}{7^n} = +\infty$. 2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_n = 6^n - 5^n = 6^n \left(1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n\right)$$ - On factorise $6^n$ dans l'expression $6^n - 5^n$ : $$6^n - 5^n = 6^n - 6^n \times \frac{5^n}{6^n} = 6^n \left(1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n\right)$$ - Cette égalité est vraie pour tout entier naturel $n$. **Réponse :** $u_n = 6^n \left(1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n\right)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.