1. Calculons $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos x} \cdot \sqrt[3]{\cos x}}{\sin^2 x}$$.\n\nPour des petites valeurs de $x$, $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$. Donc:\n$$\sqrt{\cos x} \approx \sqrt{1 - \frac{x^2}{2}} \approx 1 - \frac{x^2}{4}$$\net $$\sqrt[3]{\cos x} \approx \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)^{1/3} \approx 1 - \frac{x^2}{6}$$\nProduit:\n$$\sqrt{\cos x} \cdot \sqrt[3]{\cos x} \approx \left(1 - \frac{x^2}{4}\right) \left(1 - \frac{x^2}{6}\right) = 1 - \frac{x^2}{4} - \frac{x^2}{6} + O(x^4) = 1 - \frac{5x^2}{12} + O(x^4)$$\nDénominateur:\n$$\sin^2 x \approx x^2$$\nDonc la limite vaut approximativement:\n$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{5x^2}{12}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} - \frac{5}{12} = +\infty$$\nPuisque le terme $1/x^2$ domine. Donc, la limite est infinie positive.\n\n2. Calculons $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + 3x^2} - \sqrt{x^2 - 2x}$$.\nFactorisons chaque terme:\n$$\sqrt[3]{x^3 + 3x^2} = x \sqrt[3]{1 + \frac{3}{x}} \approx x \left(1 + \frac{1}{x}\right) = x + 1$$\n$$\sqrt{x^2 - 2x} = x \sqrt{1 - \frac{2}{x}} \approx x \left(1 - \frac{1}{x}\right) = x - 1$$\nDonc la limite est:\n$$\lim_{x \to +\infty} (x + 1) - (x - 1) = 2$$\n\n3. Calculons $$\lim_{x \to 2} \frac{\ln(\cos \pi x)}{\sqrt{x^2 - 4} - \sqrt{4x}}$$.\nAu voisinage de $x=2$, $\cos \pi x = \cos 2\pi = 1$, donc $\ln(\cos \pi x) \to \ln 1 = 0$.\nDénominateur en $x=2$:\n$$\sqrt{2^2 - 4} - \sqrt{8} = \sqrt{0} - \sqrt{8} = -2\sqrt{2}$$\nDonc limite de forme $0 / (-2\sqrt{2}) = 0$.\nLa limite vaut donc 0.\n\n4. Calcul de $$\lim_{x \to i} (x^2 + \sin^2(\pi x))^{\frac{1}{\ln x}}$$.\nIci $x \to i$ est un nombre complexe imaginaires pur, donc on travaille sur le complexe.\nCalculons l'intérieur:\n$$x^2 = i^2 = -1$$\n$$\sin(\pi i) = \frac{e^{\pi i} - e^{-\pi i}}{2i} = i \frac{e^{\pi} - e^{-\pi}}{2}$$, mais $\sin^2(\pi i)$ sera réel positif.\nSans entrée plus complexe, posons que la limite existe telle quelle. Puisque $\ln i = i \pi/2$, la puissance est complexe. En l'état, sans plus d'informations, cette limite n'existe pas dans le réel.\n\n5. Calculons $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sin x) - x \sqrt[3]{1 - x^2}}{x^5}$$.\nDéveloppons en série:\n$$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$$\n$$\sin(\sin x) \approx \sin(x - \frac{x^3}{6}) \approx x - \frac{x^3}{6} - \frac{(x - \frac{x^3}{6})^3}{6}$$\nAprès simplification, on trouve $\sin(\sin x) \approx x - \frac{x^3}{6} - \frac{x^3}{6} = x - \frac{x^3}{3}$\nPour $\sqrt[3]{1 - x^2} \approx 1 - \frac{x^2}{3}$, d'où:\n$$x \sqrt[3]{1 - x^2} \approx x \left(1 - \frac{x^2}{3}\right) = x - \frac{x^3}{3}$$\nNumérateur:\n$$\sin(\sin x) - x \sqrt[3]{1 - x^2} \approx (x - \frac{x^3}{3}) - (x - \frac{x^3}{3}) = 0$$\nLe développement au 5ème ordre montre que le terme dominant est du type $Cx^5$. L'analyse complète donne $\lim = 0$.\n\n6. Calculons $$\lim_{x \to 1} \frac{\sin^2(\pi x^2)}{\sqrt{\cos^3(2 \pi x)}}$$.\nAu voisinage de 1:\n$$\sin^2(\pi) = 0$$\n$$\cos(2 \pi) = 1$$\nNumérateur et dénominateur tendent vers 0 et $\sqrt{1} = 1$. Donc la limite vaut 0.\n\n7. Calculons $$\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \sin(t^2) dt}{x^3 + x^4}$$.\nDéveloppons l'intégrande:\n$$\sin(t^2) \approx t^2$$\nAlors\n$$\int_0^x t^2 dt = \frac{x^3}{3}$$\nDénominateur:\n$$x^3 + x^4 = x^3 (1 + x)$$\nDonc limite:\n$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3}}{x^3 (1 + x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3(1 + x)} = \frac{1}{3}$$\n\n8. Calculons $$\lim_{x \to 0^+} \left(\sqrt{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x}}}} - \sqrt{\frac{1}{x} - \sqrt{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x}}}}\right)$$.\nSoit $y=\sqrt{\frac{1}{x}}$, très grand quand $x \to 0^+$.\nÀ l'intérieur:\n$$\sqrt{\frac{1}{x} + y} = \sqrt{y^2 + y} = y \sqrt{1 + \frac{1}{y}} \approx y + \frac{1}{2}$$\nLe premier terme devient approximativement:\n$$\sqrt{y^2 + y + y + \frac{1}{2}} \approx \sqrt{y^2 + 2y} = y + 1$$\nDe même le second terme donne $y - 1$.\nDonc la différence vaut:\n$$ (y + 1) - (y - 1) = 2$$\n\nRéponses finales:\n1. $+\infty$\n2. $2$\n3. $0$\n4. Limite non définie réelle\n5. $0$\n6. $0$\n7. $\frac{1}{3}$\n8. $2$