1. **Énoncé du problème :** Calculer les limites de la fonction $$f_n(x) = \frac{1}{n!} \times \frac{(\ln x)^n}{x^2}$$ pour $$x \to +\infty$$ et $$x \to 0^+$$, avec $$n \in \mathbb{N}^*$$. 2. **Formule et règles importantes :** - La fonction logarithme naturel $$\ln x$$ est définie pour $$x > 0$$. - Pour $$x \to +\infty$$, $$\ln x \to +\infty$$ mais $$x^2$$ croît plus vite que tout polynôme de $$\ln x$$. - Pour $$x \to 0^+$$, $$\ln x \to -\infty$$. 3. **Calcul de $$\lim_{x \to +\infty} f_n(x)$$ :** $$ \lim_{x \to +\infty} f_n(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{n!} \times \frac{(\ln x)^n}{x^2} = \frac{1}{n!} \times \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^n}{x^2} $$ Puisque $$x^2$$ croît plus vite que $$ (\ln x)^n $$, on a : $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^n}{x^2} = 0 $$ Donc : $$ \boxed{\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = 0} $$ 4. **Calcul de $$\lim_{x \to 0^+} f_n(x)$$ selon la parité de $$n$$ :** - Quand $$x \to 0^+$$, $$\ln x \to -\infty$$. - Donc $$ (\ln x)^n = (-\infty)^n $$. - Si $$n$$ est pair, $$(-\infty)^n = +\infty$$. - Si $$n$$ est impair, $$(-\infty)^n = -\infty$$. La fonction s'écrit : $$ f_n(x) = \frac{1}{n!} \times \frac{(\ln x)^n}{x^2} $$ Or $$x^2 \to 0^+$$, donc $$\frac{1}{x^2} \to +\infty$$. - Pour $$n$$ pair : $$ \lim_{x \to 0^+} f_n(x) = +\infty \times +\infty = +\infty $$ - Pour $$n$$ impair : $$ \lim_{x \to 0^+} f_n(x) = (-\infty) \times +\infty = -\infty $$ **Réponse finale :** $$ \boxed{\lim_{x \to +\infty} f_n(x) = 0} $$ $$ \boxed{\lim_{x \to 0^+} f_n(x) = \begin{cases} +\infty & \text{si } n \text{ pair} \\ -\infty & \text{si } n \text{ impair} \end{cases}} $$